自动控制理论的MATLAB仿真实例（一）

拉普拉斯变换及其反变换

Laplace变换及其反变换的定义为：

命令：

Fs=laplace(ft,t,s);%求时域函数ft的Laplace变换Fs

ft=ilaplace(Fs,s,t);%求频域函数Fs的Laplace反变换ft

syms s t;

syms a;

f=str2sym('exp(2*t)+5*dirac(a-t)')

f = 

F=laplace(f,t,s)

F = 

ilaplace(F,s,t)

ans = 

 

时域响应曲线的绘制

3-13-1绘制零状态响应曲线和零输入响应曲线

num=[1.9691,5.0395];

den=[1,0.5572,0.6106];

step(num,den)%绘制阶跃响应曲线

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);%根据系统传递函数求系统的状态模型

x0=[-1;0];

initial(A,B,C,D,x0)

grid on

为什么结果图中y一直是从-2开始的，正确结果应该是从-1开始吧？

因为y=C*x+D*u，这里的y0=C*x0=-1.9691，所以从-2附近开始

 

3-13-2输入周期20s，赋值为1的方波，求系统的输出响应

num=3;

den=[1,2,3];

[u,t]=gensig('square',20);%幅值为1，周期为20s的方波信号u

lsim(num,den,u,t)%求系统的输出响应

 

3-13-3绘制时间常数为0.5s、1s、2s时，一阶系统的单位阶跃响应曲线

close all

T=[0.5,1,2];

figure(1)

hold on

for i=1:length(T)

num=1;

den=[T(i),1];

step(num,den)

end

hold off

legend({'0.5','1','2'});

 

3-13-4观察无阻尼自然震荡角频率 、阻尼比 ζ 对二阶系统暂态性能的影响

（1）不同阻尼比下的单位阶跃响应

wn=6;

z=[0.1,0.3,0.5,0.7,1,2];

close all

figure(1)

hold on

for i=1:length(z)

num=wn^2;

den=[1,2*z(i)*wn,wn^2];

step(num,den)

end

hold off

legend({'0.1','0.3','0.5','0.7','1','2'});

（2）不同无阻尼自然震荡角频率下的单位阶跃响应

z=0.7;

wn=[2:2:8,12];

close all

figure(1)

hold on

for i=1:length(wn)

num=wn(i)^2;

den=[1,2*z*wn(i),wn(i)^2];

step(num,den)

end

hold off

legend({'2','4','6','8','12'});

 

3-13-5求系统的上升时间 、峰值时间 、最大超调量 和调整时间

num=5*[1,5,6];

den=[1,6,10,8];

step(num,den)

%下面求解上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间

syms s t;

syms a;

F=str2sym('5*(s^2+5*s+6)/(s*(s^3+6*s^2+10*s+8))')

F = 

f=ilaplace(F,s,t)

f = 

c=15/4-7*exp(-t)*(cos(t)-sin(t)/7)/2-exp(-4*t)/4;

ezplot(t,c)

xlabel('Time(seconds)');

ylabel('Amplitude');

title('Response');

Mp=vpa(max(subs(c,t,[0:0.001:6])),3)%最大超调量

Mp =  4.02

tp=vpa(vpasolve(diff(c)),3)%峰值时间

tp =  2.21

tr=vpa(vpasolve(c==15/4),3)%上升时间

tr =  1.43

ts=vpa(max(vpasolve(abs(c-15/4)==0.05*15/4,3)),3)%调整时间

ts =  2.93

 

3-13-6已知开环传递函数

绘制单位斜坡响应曲线和给定误差曲线，求给定稳态误差终值

close all

num=1.5;

den=[1,3,2,0];

s=tf(num,den)

s =

1.5
-----------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s

Continuous-time transfer function.

sc=feedback(s,1)%求单位负反馈系统闭环传递函数

sc =

1.5
-----------------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1.5

Continuous-time transfer function.

numc=sc.num{1}

numc = 1×4

0 0 0 1.5000

 

 

denc=sc.den{1}

denc = 1×4

1.0000 3.0000 2.0000 1.5000

 

 

denc=[denc,0];%闭环传递函数乘以1/s

t=[0:0.01:15];%单位斜坡信号

y=step(numc,denc,t);%求单位斜坡响应

subplot(211);

plot(t,t,t,y)

xlabel('t/s');

ylabel('y(t)');

title('Response');

e=t-y';

subplot(212);

plot(t,e)

grid on

xlabel('t/s');

ylabel('e(t)');

title('error');

esr=e(length(t))%给定稳态误差

esr = 1.3237

 

根轨迹的绘制

4-6-1绘制常规根轨迹

close all

num=1;

den=[1,6,8,0];

rlocus(num,den);

sgrid

axis equal

[k,p]=rlocfind(num,den,[1:5])

k = 1×5

15 48 105 192 315

 

 

p = 3×5 complex

-5.0000 + 0.0000i -6.0000 + 0.0000i -7.0000 + 0.0000i -8.0000 + 0.0000i -9.0000 + 0.0000i
-0.5000 + 1.6583i 0.0000 + 2.8284i 0.5000 + 3.8406i 1.0000 + 4.7958i 1.5000 + 5.7228i
-0.5000 - 1.6583i 0.0000 - 2.8284i 0.5000 - 3.8406i 1.0000 - 4.7958i 1.5000 - 5.7228i

 

 

 

4-6-2绘制常规根轨迹,并找到当系统阻尼比为0.707时系统闭环极点的位置

close all

num=[4,3,1];

den=[3,5,1,0];

rlocus(num,den);

sgrid(0.707,1.5)

axis equal

 

4-6-3绘制以 α 为参变量的根轨迹

给定 为0.5，1，2.5，5

k1=[0.5,1,2.5,5];

den=[1,1,0,0];

numc=1;

close all

subplot(221);

num=[0,k1(1),k1(1),0];

denc=num+den;

rlocus(numc,denc);

legend({'K_1=0.5'});

subplot(222);

num=[0,k1(2),k1(2),0];

denc=num+den;

rlocus(numc,denc);

legend({'K_1=1'});

subplot(223);

num=[0,k1(3),k1(3),0];

denc=num+den;

rlocus(numc,denc);

legend({'K_1=2.5'});

subplot(224);

num=[0,k1(4),k1(4),0];

denc=num+den;

rlocus(numc,denc);

legend({'K_1=5'});

 

伯德图、极坐标图的绘制

5-7-1给定开环传递函数，绘制伯德图

close all

num=1;

den=[1,0.2,1];

bode(num,den);

grid

 

5-7-2给定开环传递函数，绘制极坐标图和对数幅相图

close all

num=2;

den=[1,1,2];

bode(num,den);

grid

nyquist(num,den);

grid

nichols(num,den);

grid

 

5-7-3给定开环频率特性，绘制闭环频率特性

close all

num=10;

den=[0.005,0.15,1,0];

s=tf(num,den);

sc=feedback(s,1);

numc=sc.num{1};

denc=sc.den{1};

bode(num,den);

grid

bode(numc,denc);

grid

 

5-7-4给定开环传递函数，求相角裕度和增益裕度

close all

num=1;

den=[1,0.4,1];

[mag,phase,w]=bode(num,den);

margin(mag,phase,w)

 

线性系统校正

6-8-1单位反馈系统

分析比较该系统串联比例控制、比例微分控制、比例积分控制的校正作用

num=1;

den=[1,0.8,1];

num_p=0.32;

den_p=[1,0.8,0.32];

num_pd=[0.614,1];

den_pd=[1,1.414,1];

num_pi=[0.5,0.005];

den_pi=[1,0.8,0.5,0.005];

close all

figure(1)

hold on

step(num,den);

step(num_p,den_p);

step(num_pd,den_pd);

step(num_pi,den_pi);

hold off

legend({'','P','PD','PI'});

 

5-7-5分析设有单位负反馈的 Ι 型系统串联具有超前校正作用的控制器前后的频率特性和时域响应

num_b=5;%b-before代表校正前

den_b=[1,5,4,0];

s_b=tf(num_b,den_b);

sc_b=feedback(s_b,1);

numc_b=sc_b.num{1};

denc_b=sc_b.den{1};

z=-1.2;

p=[0,-1,-4,-4.95];

k=29.7;

[num_a,den_a]=zp2tf(z,p,k);

s_a=tf(num_a,den_a);

sc_a=feedback(s_a,1);

numc_a=sc_a.num{1};

denc_a=sc_a.den{1};

close all

[mag_b,phase_b,w_b]=bode(numc_b,denc_b);

margin(mag_b,phase_b,w_b)

[mag_a,phase_a,w_a]=bode(numc_a,denc_a);

margin(mag_a,phase_a,w_a)

step(numc_b,denc_b);

hold on

step(numc_a,denc_a);

hold off

legend({'before','after'});