无刷直流电机换相时刻电流变化速率的讨论

文献[1]讨论了换相时电流变化的三种情形，如下：

1. 关断相电流下降速率等于开通相电流上升速率；
2. 关断相电流下降速率大于开通相电流上升速率，此时关断相电流在开通相电流增至给定电流之前减至零；
3. 关断相电流下降速率小于开通相电流上升速率，此时关断相电流在开通相电流增至给定电流之后减至零。

此外还给出了上述三种情形的图示，在此仅截取关断相电流下降速率大于开通相电流上升速率的图示，即文献[1]中的Case b：

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在此仅讨论Case b，当发生换相转矩脉动时，非换相相电流的变化分为两个步骤，文献[2]分析了第一步，以H_PWM-L_ON型调制方式的上桥换相为例，由文献[2]式(8)可知换相第一步时A相电流下降速率为：

$$\frac{di_a}{dt}=\frac{2k_e\omega+DU_s}{3L}$$
B相电流上升速率为：
$$\frac{di_b}{dt}=\frac{2DU_s-2k_e\omega}{3L}$$
C相电流下降速率为：
$$\frac{di^{'}_c}{dt}=\frac{4k_e\omega+DU_s}{3L}$$
此时关断相电流下降速率大于开通相电流上升速率，故有：
$$\frac{di_a}{dt}>\frac{di_b}{dt}$$
整理得：
$$4k_e\omega>DU_s$$
换相第二步时电机三相端电压平衡方程为：
$$\begin{bmatrix} DU_s \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L & 0 \\ 0 & L \end{bmatrix} p \begin{bmatrix} i_b \\ i_c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e_b \\ e_c\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} U_n \\ U_n \end{bmatrix}$$
解得：
$$U_n=\frac{DU_s}{2}$$
C相电流上升速率为：
$$\frac{di^{''}_c}{dt}=\frac{\frac{DU_s}{2}-k_e\omega}{L}$$
对第一步和第二步C相电流的变化速率进行比较：
$$\frac{di^{'}_c}{dt}-\frac{di^{''}_c}{dt}=\frac{7k_e\omega-\frac{DU_s}{2}}{3L}>0$$
由以上分析可知，当非换相相电流跌落时，电流下降速率大于上升速率。

再来分析H_PWM-L_ON型调制方式的下桥换相时开通相电流上升速率，仍然以C相电流为例，由文献[2]式(19)得此时C相电流上升速率为：

$$\frac{di^{'''}_c}{dt}=\frac{U_s+DU_s-2k_e\omega}{3L}$$
将C相作为开通相时的电流上升速率与其作为非换相相在换相第二步时的电流上升速率进行比较：
$$\frac{di^{'''}_c}{dt}-\frac{di^{''}_c}{dt}=\frac{U_s-\frac{DU_s}{2}+k_e\omega}{3L}>0$$
由以上分析可知，换相时作为开通相电流的上升速率要大于作为非换相相电流跌落后的上升速率。

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通过无刷直流电机开发板驱动电机运转，用霍尔测得空载下占空比为100%时的电流波形，实测波形与理论分析相符。

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参考文献
[1]: Carlson R, Lajoie-Mazenc M, Fagundes J C D S. Analysis of torque ripple due to phase commutation in brushless DCmachines[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1992, 28(3):632-638.
[2]: 张相军, 陈伯时. 无刷直流电机控制系统中PWM调制方式对换相转矩脉动的影响[J]. 电机与控制学报, 2003, 7(2):87-91.