Easy Multiplication　快速傅里叶变换

Easy Multiplication

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题目描述

乘法就是加法的连续运算，同一个数若干次连加，其运算结果称为积

$\underbrace {a+a+a+\cdots +a}_{{n}}=a\times n$

给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。

输入

第一行一个正整数n（n<=200000)。第二行描述一个位数为n的正整数x。第三行描述一个位数为n的正整数y。

输出

输出一行，即x*y的结果。

样例输入

5
12345
78945

样例输出

974576025

分析：

首先ｎ的范围是２＊１０＾５，ｌｏｎｇ　ｌｏｎｇ　ｉｎｔ是没有办法计算的，考虑大数乘法

FFT模板题，直接进行高精度乘法是O(n＾2)的，于是我们采用FFT来O(nlogn)实现：

1.我们把乘数的每一位看作多项式的系数，得到多项式A(x)（因为高精度乘法的本质就是多项式乘法）

2.首先求出，其中k∈[0,n−1]，是n次单位复根。
由于n次单位复根的一些奇妙性质：

相消引理

è¿éåå¾çæè¿°

折半引理

我们可以采用分治O(nlogn)的时间求出这nn项的值，但是递归实现常数较大，我们采用蝴蝶算法来迭代实现。

如图，把原来顺次排列的数列变成叶子中的顺序就可以迭代了~
（叶子中的顺序就是原序列的二进制逆序）

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <complex>
#define pi acos(-1)
#define N 200005
using namespace std;
complex<double> a[N],b[N],p[N];
int n,c[N];
char s[N];
void FFT(complex<double> x[],int n,int p)
{
//把原来依次排列的数变成叶子中的顺序
    for (int i=0,t=0;i<n;i++)
    {
        if (i>t) swap(x[i],x[t]);
        for (int j=n>>1;(t^=j)<j;j>>=1);
    }
    for (int m=2;m<=n;m<<=1)  //枚举每一层
    {
        complex<double>       wn(cos(p*2*pi/m),sin(p*2*pi/m));
        for (int i=0;i<n;i+=m)
        {
            complex<double> w(1,0),u;
            int k=m>>1;
            for (int j=0;j<k;j++,w*=wn)
            {
            //蝴蝶操作
                u=x[i+j+k]*w;
                x[i+j+k]=x[i+j]-u;
                x[i+j]=x[i+j]+u;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);
    for (int i=0;i<n;i++)
        a[i]=s[n-i-1]-'0';
    scanf("%s",s);
    for (int i=0;i<n;i++)
        b[i]=s[n-i-1]-'0';
    //把长度变为2的幂次，方便FFT中的迭代
    for (int j=n,i=1;(i>>2)<j;i<<=1)
        n=i;
    FFT(a,n,1),FFT(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        p[i]=a[i]*b[i];
    //插值
    FFT(p,n,-1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        c[i]=p[i].real()/n+0.1;
    int len=0;
    //进位
    for (int i=0;i<n;i++)
        if (c[i])
            len=i,c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
    for (int i=len;i>=0;i--)
        printf("%d",c[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}