概率论杂记（0）——正态分布

主要关于《概率论与数理统计》书里面出现的内容，不过，是贫僧筛选过的。其余的，贫僧觉得还是比较简单的。

正态分布

公式：

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} μ = E ε, σ^{2} = D ε

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\\ \mu = E\varepsilon, \sigma^2 = D\varepsilon$

标准正态分布

标准正态分布的公式：

ϕ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

将正态分布标准化的公式：

\frac{ε - μ}{σ} = ε

$\frac{\varepsilon - \mu}{\sigma} = \varepsilon$

用处：应该是因为方便计算吧。。。反正贫僧做题的时候遇到它的场合基本上都是要计算什么的时候。

补充：

ϕ (- x) = 1 - ϕ (x), ϕ (- x) + ϕ (x) = 1

$\phi(-x) = 1 - \phi(x), \phi(-x) + \phi(x) = 1$

正态分布的线性组合

线性组合的前提是这几个要组合起来的正态分布要相互独立，满足这个条件之后就可以直接算出新的正态分布。
首先要记得的是上面提到的公式，正态分布的公式是： $N ~ (\varphi, \sigma^2)$ ，这里面的 $\varphi$ 就是分布的数学期望， $\sigma$ 就是方差，然后因为这几个正态分布相互独立（这里以两个变量 $\varepsilon \mathrm{和} \eta$ 对应的正态分布为例），所以 $\varepsilon - \eta$ 对应的正态分布就是

E (ε - η) = E (ε) - E (η) D (ε - η) = D (ε) + D (η)

$E(\varepsilon - \eta) = E(\varepsilon) - E(\eta)\\ D(\varepsilon - \eta) = D(\varepsilon) + D(\eta)$
上面用了数学期望的性质和方差的性质（书P82）。
数学期望性质：

E a ε = a E ε a 是 常 数 E [f (ε) + g (ε)] = E f (ε) + E g (ε)

$Ea\varepsilon = a E\varepsilon \quad a\mathrm{是常数}\\ E[f(\varepsilon) + g(\varepsilon)] = Ef(\varepsilon) + Eg(\varepsilon)$
方差性质：

D C ε = C^{2} D ε

$DC\varepsilon = C^2D\varepsilon$
所以

D (ε - η) = D (ε + (- 1) \times η) = D (ε) + (- 1)^{2} \times D (η)

$D(\varepsilon - \eta) = D(\varepsilon + (-1) \times \eta) = D(\varepsilon) + (-1)^2 \times D(\eta)$

参考

求助，两个独立的正态分布相加减怎么运算。
两个相互独立的样本的方差计算公式是什么?两个样本的方差为什么可以相加?
概率论中两个独立的随机变量其差的方差为什么等于方