[Luogu P1005] 矩阵取数游戏

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洛谷传送门

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的$n \times m$的矩阵，矩阵中的每个元素$a_{i,j}$均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共$n$个。经过$m$次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 $=$ 被取走的元素值$\times 2^i$，其中$i$表示第$i$次取数（从$1$开始编号）；
4. 游戏结束总得分为$m$次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入输出格式

输入格式：

输入文件包括$n+1$行：

第$1$行为两个用空格隔开的整数$n$和$m$。

第$2\sim n+1$行为$n \times m$矩阵，其中每行有$m$个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式：

输出文件仅包含$1$行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1：

2 3
1 2 3
3 4 2

输出样例#1：

82

说明

NOIP 2007 提高第三题

数据范围：

60%的数据满足：$1\le n, m \le 30$，答案不超过$10^{16}$
100%的数据满足：$1\le n, m \le 80$，$0 \le a_{i,j} \le 1000$

解题分析

一眼$dp$， 显然每行的取值是不会互相影响的， 所以我们分开算。

这道题可以倒着$dp$也可以正着$dp$， 博主是倒着$dp$的。

设$dp[i][j]$表示当前行取$i\sim j$范围内的数的最优解， 那么

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$$dp[i][j]=max(dp[i+1][j]*2+val[i]*2, dp[i][j-1]*2+val[j]*2)$$
总复杂度 $O(NM^2)$。

至于高精度， 不存在的， 直接上__int128。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 100
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc);
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
__int128 dp[MX][MX];
ll mat[MX][MX];
__int128 ans;
int n, m;
__int128 solve(ll *dat)
{
    int bd;
    std::memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (R int i = 0; i < m; ++i)
    {
        bd = m - i;
        for (R int j = 1; j <= bd; ++j)
        dp[j][j + i] = std::max(dp[j + 1][j + i] * 2 + dat[j] * 2, dp[j][j + i - 1] * 2 + dat[j + i] * 2);
    }
    return dp[1][m];
}
void print(__int128 now)
{
    if(!now) return;
    print(now / 10);
    printf("%d", now % 10);
}
int main(void)
{
    in(n), in(m);
    for (R int i = 1; i <= n; ++i)
    for (R int j = 1; j <= m; ++j)
    in(mat[i][j]);
    for (R int i = 1; i <= n; ++i) ans = ans + solve(mat[i]);
    if(!ans) return putchar('0'), 0;
    print(ans);
}