#(区间DP+高精度)洛谷P1005矩阵取数（提高+/省选-）

作者: Jack_Homes_Huang 更新时间: 2018-07-24 11:19 在Ta的博客查看举报 162

题目大意

有一个 $\times mn×m的矩阵，对于第ii行，每次取走边缘的值A_{i,j}Ai,j，增加这一行的得分xx(自行看题目规则)，求nn行的最大得分总和。$

分析一下

求
每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

DP流程

(每次DP仅针对第

状态

我们用 $f_{i,j}fi,j表示区间变为[i,j][i,j]时，获得的最大分数。$

转移

当区间变为 $[i,j][i,j]时，上一次取数的时候区间一定是[i-1,j][i−1,j]或[i,j+1][i,j+1]，从这两个状态转移即可。在第m-j+i-1m−j+i−1次(这个请自行模拟)取走了A_{i-1,j}Ai−1,j或A_{i,j+1}Ai,j+1即：f_{i,j}=max\{f_{i-1,j}+A_{i-1,j} \cdot 2^{m-j+i-1},f_{i,j+1}+A_{i,j+1} \cdot 2^{m-j+i-1}\}fi,j=max{fi−1,j+Ai−1,j⋅2m−j+i−1,fi,j+1+Ai,j+1⋅2m−j+i−1}$

终值（答案）

啊这个终值超级讨厌，状态不明确的话还真想不出来。
因为题目中说要取完，但是空区间是DP不出来的，然后就得手动模拟每个长度为 $11的区间。即：Ans=max_{i \leq m}\{f_{i,i}+A_{i,i} 2^m\}Ans=maxi≤m{fi,i+Ai,i⋅2m}$

一些~~(超级烦的)~~事情
我就不说为什么要用高精度了
啊高精度好烦的
烦归烦我又有什么办法呢，我又不会

总结一下要用的所有高精度

高精
高精 $\times×单精$
$max\{max{高精,,高精\}}(手动调皮)$

好了我不管你们想粘板子就粘板子吧 $\cdots⋯$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好
int n, m;
int ar[MAXN];

struct HP {
int p[505], len;
HP() {
memset(p, 0, sizeof p);
len = 0;
} //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量
void print() {
printf("%d", p[len]);
for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
if (p[i] == 0) {
printf("0000");
continue;
}
for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10)
printf("0");
printf("%d", p[i]);
}
} //四位压缩的输出
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;

HP operator + (const HP &a, const HP &b) {
HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;
for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
x = c.p[i] / Mod;
c.p[i] %= Mod;
}
if (x > 0)
c.p[++c.len] = x;
return c;
} //高精+高精

HP operator * (const HP &a, const int &b) {
HP c; c.len = a.len; int x = 0;
for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
c.p[i] = a.p[i] * b + x;
x = c.p[i] / Mod;
c.p[i] %= Mod;
}
while (x > 0)
c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;
return c;
} //高精*单精

HP max(const HP &a, const HP &b) {
if (a.len > b.len)
return a;
else if (a.len < b.len)
return b;
for (int i = a.len; i > 0; i--)
if (a.p[i] > b.p[i])
return a;
else if (a.p[i] < b.p[i])
return b;
return a;
} //比较取最大值

void BaseTwo() {
base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;
for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年...
base[i] = base[i - 1] * 2;
}
} //预处理出2的幂

int main(void) {
scanf("%d%d", &n, &m);
BaseTwo();
while (n--) {
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d", &ar[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]);
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);
} //用结构体重载运算符写起来比较自然
HP Max;
for (int i = 1; i <= m; i++)
Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);
ans = ans + Max; //记录到总答案中
}
ans.print(); //输出
return 0;
}