题解【矩阵取数游戏_NOIp2007提高组】(洛谷P1005)

题目大意

有一个\(n \times m\)的矩阵，对于第\(i\)行，每次取走边缘的值\(A_{i,j}\)，增加这一行的得分\(x\)(自行看题目规则)，求\(n\)行的最大得分总和。

分析一下

• 求\(n\)行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）
• 每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

DP流程

(每次DP仅针对第\(T\)行)

状态

• 我们用\(f_{i,j}\)表示区间变为\([i,j]\)时，获得的最大分数。

转移

• 当区间变为\([i,j]\)时，上一次取数的时候区间一定是\([i-1,j]\)或\([i,j+1]\)，从这两个状态转移即可。在第\(m-j+i-1\)次(这个请自行模拟)取走了\(A_{i-1,j}\)或\(A_{i,j+1}\)即：\[f_{i,j}=max\{f_{i-1,j}+A_{i-1,j} \cdot 2^{m-j+i-1},f_{i,j+1}+A_{i,j+1} \cdot 2^{m-j+i-1}\}\]

终值（答案）

• 啊这个终值超级讨厌，状态不明确的话还真想不出来。
• 因为题目中说要取完，但是空区间是DP不出来的，然后就得手动模拟每个长度为\(1\)的区间。即：
  \[Ans=max_{i \leq n}\{f_{i,i}+A_{i,i} \cdot 2^m\}\]

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一些(超级烦的)事情

• 我就不说为什么要用高精度了\(\cdots\)
• 啊高精度好烦的\(\cdots\)
• 烦归烦我又有什么办法呢，我又不会\(int128 \cdots\)

总结一下要用的所有高精度

1. 高精\(+\)高精

2. 高精\(\times\)单精

3. \(max\{\)高精\(,\)高精\(\}\)(手动调皮)

好了我不管你们想粘板子就粘板子吧\(\cdots\)

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代码君

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好 
int n, m;
int ar[MAXN];

struct HP {
    int p[505], len;
    HP() {
        memset(p, 0, sizeof p);
        len = 0;
    } //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量 
    void print() {
        printf("%d", p[len]);  
        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {  
            if (p[i] == 0) {
                printf("0000"); 
                continue;
            }
            for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10) 
                printf("0");
            printf("%d", p[i]);
        }
    } //四位压缩的输出 
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;

HP operator + (const HP &a, const HP &b) {
    HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;
    for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
        c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
        x = c.p[i] / Mod;
        c.p[i] %= Mod;
    }
    if (x > 0)
        c.p[++c.len] = x;
    return c;
} //高精+高精 

HP operator * (const HP &a, const int &b) {
    HP c; c.len = a.len; int x = 0;
    for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
        c.p[i] = a.p[i] * b + x;
        x = c.p[i] / Mod;
        c.p[i] %= Mod;
    }
    while (x > 0)
        c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;
    return c;
} //高精*单精 

HP max(const HP &a, const HP &b) {
    if (a.len > b.len)
        return a;
    else if (a.len < b.len)
        return b;
    for (int i = a.len; i > 0; i--)
        if (a.p[i] > b.p[i])
            return a;
        else if (a.p[i] < b.p[i])
            return b;
    return a;
} //比较取最大值 

void BaseTwo() {
    base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;
    for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年... 
        base[i] = base[i - 1] * 2;
    }
} //预处理出2的幂 

int main(void) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    BaseTwo();
    while (n--) {
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            scanf("%d", &ar[i]);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始 
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]); 
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);
            } //用结构体重载运算符写起来比较自然 
        HP Max;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);
        ans = ans + Max; //记录到总答案中 
    }
    ans.print(); //输出 
    return 0;
}