从傅里叶到小波 5

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由《从傅里叶到小波 4》可以知道，短时傅里叶使用了类似滤波器一样的工具，只不过与我们熟知的与对空间滤波、频域滤波不同，这是一个类似时域滤波的滤波器，我们回到短时傅里叶的数学表达式， 由公式 $STFT(t, f) = \int_0^1 [f(t) \cdot \omega (t - t^*)] \cdot e ^{-2\pi ikt} dt$ 出发，开始进入到连续小波分析的领域。

短时傅里叶方法的缺陷

我们非常快速的介绍了傅里叶方法的数学推导，并且引入了傅里叶方法对于时频信号分析的改进技术——短时傅里叶。任何强大有力的工具都有它的适用性，也就是傅里叶虽然有精确的频率信息，但是不包含各频率出现的时间信息。于是我们改进了傅里叶方法，并且引入了短时傅里叶。

短时傅里叶确实一定程度上解决了傅里叶缺失信号频率出现的时间问题，但是也引来了另外一个问题，那就是测不准问题。用个通俗的例子来举例，就是用尺子去测量$\pi, \sqrt{2}$，这类尺子无论多小的单位，都无法准确测量的实数，当然，这个举例不一定正确。

海森堡于1927年提出，这个理论是说，你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度，粒子位置的不确定性，必然大于或等于普朗克常数（Planck constant）除于4$\pi$，这表明微观世界的粒子行为与宏观物质很不一样。此外，不确定原理涉及很多深刻的哲学问题，用海森堡自己的话说：“在因果律的陈述中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所得出的并不是结论，而是前提。我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。”

对于信号处理来说，更为准确的说法是对于给定信号来说，我们无法知道该信号中确切包含的频率与频率出现的时间，以及关联频率的范围，所以我们只能假定某种频率会出现，用某种方法去近似的测量它。

对于短时傅里叶方法，就存在这样的问题，我们无法知道某种频率一定出现的时间位置，所以窗函数的跨度（时间T）就非常难设计，而且，因为高频信号在时域范围有较好的体现，而低频信号在频域范围有较好的体现；观测高频信号，我们需要用较窄的跨度去测量它，但是对于低频信号则需要较长的跨度去测量它，而实际的信号又是动态的，所以使用短时傅里叶方法会经常出现测不准信号的情况。

我们用图来说明：

由于短时傅里叶的观察窗口大小是确定的，平移时间间隔是确定的，所以它的精度范围也是确定的，如右图所示。当某时刻$T_0$出现了某种低频信号，而此时傅里叶窗口的大小不够大，那么就会导致对这个低频信号的测量失败，在对应的频谱图上就不能有较好的体现。

那么，如果我们换个思路，比如动态的调整窗大小，或许我们可以解决，或者把“测不准”带来的影响降低到最小。

小波变化/小波分析 （Wavelet Transform）

回到短时傅里叶的公式 $STFT(t, f) = \int_0^1 [f(t) \cdot \omega (t - t^*)] \cdot e ^{-2\pi ikt} dt$，与傅里叶公式 $FT(t) = \int_0^1 f(t) \cdot e ^{-2\pi ikt} dt$ 我们会发现一个规律，都是通过计算原信号函数与正弦函数的卷积得到频率值，也就是说，对于时域信号转频域信号，至少数学上是通过以正弦函数为基，计算卷积得到。

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而短时傅里叶，通过先对原始信号“滤波”，再计算与正弦函数卷积得到每个分段上的频率值。那么，我们是否可以通过设计这样一个函数，让它通过调整自身在时间轴T上的位置和频率，与原函数计算卷积来获得一个包含有时间信息的频谱呢？

这个技术就是小波了。

初看小波，可能很多人会跟我一样搞不明白为什么有的地方采用一种树状结构去分解原始信号，在另外一些教科书上又是通过重复卷积计算各频率信号的。这个主要区别，在离散小波与连续小波算法或者说工程方面有关系，具体的介绍会放到后面章节里。

首先，我们先介绍连续小波函数：

$$CWT_x^{\psi}(\tau, s) = \Psi_x^{\psi}(\tau, s) = \frac{1}{\sqrt{|s|}} \int f(t) \cdot \psi^* (\frac{t - \tau}{s}) dt$$