题目
0, 1, …, n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
思路
方法一：采用链表来存放数据，每次对长度取余来实现循环
将所有数字放入LinkedList链表中（LinkedList比ArrayList更适合增删操作）。假设当前删除的结点下标为removeIndex，则下一个要删除的结点的下标为：(removeIndex+m-1)%list.size()，通过取余符号可以实现类型循环的操作。
参考代码：
import java.util.LinkedList;
public class Solution {
public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
LinkedList<Integer> link = new LinkedList<Integer>();
for(int i = 0; i < n; i++)
link.add(i);
int index = -1; //起步是 -1 不是 0
while(link.size() > 1){
index = (index + m) % link.size(); //对 link的长度求余不是对 n
link.remove(index);
index --;
}
return link.get(0);
}
}
方法二：数学推导规律
n个数字的圆圈，不断删除第m个数字，我们把最后剩下的数字记为f(n,m)。
n个数字中第一个被删除的数字是(m-1)%n， 我们记作k，k=(m-1)%n。
那么剩下的n-1个数字就变成了：0,1,……k-1,k+1,……,n-1，我们把下一轮第一个数字排在最前面，并且将这个长度为n-1的数组映射到0~n-2。
原始数字：k+1,……, n-1, 0, 1,……k-1
映射数字：0 ,……,n-k-2, n-k-1, n-k,……n-2
把映射数字记为x，原始数字记为y，那么映射数字变回原始数字的公式为 y=(x+k+1)%n。
在映射数字中，n-1个数字，不断删除第m个数字，由定义可以知道，最后剩下的数字为f(n-1,m)。我们把它变回原始数字，由上一个公式可以得到最后剩下的原始数字是（f(n-1,m)+k+1)%n，而这个数字就是也就是一开始我们标记为的f(n,m)，所以可以推得递归公式如下：
f(n,m) =（f(n-1,m)+k+1)%n
将k=(m-1)%n代入，化简得到：
f(n,m) =（f(n-1,m)+m)%n
f(1,m) = 0
代码中可以采用循环或者递归的方法实现该递归公式。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
Java代码
//题目：0, 1, …, n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里
//删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
public class LastNumberInCircle {
/*
* 方法一：采用推导出来的方法
*/
public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
if(n<1 || m<1)
return -1; //出错
int last=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
last=(last+m)% i; //这里是i不是n！！！
}
return last;
}
/*
* 方法二：采用链表来存放，每次对长度取余来实现循环
*/
public int LastRemaining_Solution2(int n, int m) {
if(n<1 || m<1)
return -1; //出错
LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
for(int i=0;i<n;i++)
list.add(i);
int removeIndex=0;
while(list.size()>1){
removeIndex=(removeIndex+m-1)%list.size();
list.remove(removeIndex);
}
return list.getFirst();
}
}
收获
1.对于下标循环一圈类似的问题，通过%可以很好地实现循环，而不需要我们自己构造循环链表；
2.(a%n+b)%n=(a+b)%n
3.尽量学会本题的数学方法，特别是要掌握好数字间映射的方法。
4.公式法中，last=(last+m)% i; //这里是i不是n！！！