《算法》笔记 2 - 动态连通性问题

动态连通性问题

在基础部分的最后一节，作者用一个现实中应用非常广泛的案例，说明以下几点：

• 优秀的算法因为能解决实际问题而变得更为重要；
• 高效算法的代码也可以很简单；
• 理解某个实现的性能特点是一项有趣的挑战；
• 在解决同一个问题的多种算法之间进行选择时，科学方法是一种重要的工具；
• 迭代式改进能够让算法的效率越来越高。

动态连通性问题的输入是一列整数对，其中的每个整数都表示一个某种类型的对象，一对整数对p q可以理解为“p和q是相连的”。相连是一种等价关系，其具有：

• 自反性，p和p也是相连的；
• 对称性，p和q相连，则q和p也是相连的；
• 传递性，p和q相连，q和r相连，则p和r也是相连的。

程序的目标是过滤掉序列中无意义的整数对，当程序从输入中读取了整数对pq时，如果已知的所有整数对都不能说明p和q是相连的，那么则将这一对整数写入到输出中。如果已知的数据可以说明p和q是相连的，那么程序应该忽略pq这对整数并继续处理输入中的下一对整数。

动态连通性问题的实际应用很多，比如：检查通信网络中计算机之间是否连通、电子电路中的触点是否连接或者社交网络中的人是否相识等等。

实现

接下来会统一使用网络方面的术语，将整数称为触点、整数对称为连接、等价类称为连通分量或分量。
明确需要解决的问题后，就可以抽象出算法的API了，包括

void union(int p,int q)  //在p q之间添加一条连接，将两个分量归并
int find(int p)  //返回p所在分量的标识符
boolean connected(int p int q) //判断两个触点是否在同一分量
int count() //连通分量的数量

通用代码

算法的基本代码如下，其中find()、union()方法在各种算法中有不同的实现。

public class UF {

    private int[] id;  //分量id(以触点作为索引)
    private int count; // 连通分量的数量

    public UFquickFind(int n) {
        id = new int[n];
        count=n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            id[i] = i;
        }
    }

    public int find(int p) {
        //待实现
    }

    public int count() {
        return count;
    }

    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    public void union(int p, int q) {
        //待实现
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = StdIn.readInt();  //读取触点数量
        StdOut.println(n);
        UF uf = new UF(n);  //初始化N个分量
        while (!StdIn.isEmpty()) {
            int p = StdIn.readInt();
            int q = StdIn.readInt();  //读取整数对
            if (uf.connected(p, q))  //是否连通,如果已经连通则忽略
                continue;
            uf.union(p, q);  //归并分量
        }
        StdOut.println(uf.count() + " components");
    }
}

Quick-Find算法

实现

最直接的方法是当p和q连通时，让id[p]=id[q]，所以同一连通分量中的所有触点在id[]中的值是全部相同的。find§只需返回id[p]，但union()方法在将p和q设置为同一连通分量时比较麻烦，需要改变p或q所在分量中所有元素的值。

public int find(int p) {
        return id[p];
}

public void union(int p, int q) {
        int vp = find(p); //一次数组访问
        int vq = find(q); //一次数组访问

        if(vp==vq){
            return;
        }
        for(int i=0;i<id.length;i++){
            if(id[i]==vq){ //N次数组访问
                id[i]=vp;  //最好情况只执行一次，最坏情况执行N-1次
            }
        }
        count--;
}

这种方法得到的find操作的速度很快，只需要访问id[]数组一次，但union操作由于每次都要扫描整个数组而变得很慢。这里代码中是刷新q所在的分量，也可以改为刷新p所在的分量。

分析

在分析算法的成本时，主要考虑的是数组的访问次数（包括读、写）。
那么Quick-Find算法的成本如何呢？假设问题的规模为N，则数组的长度为N，那么每次find()只访问数组一次，union()访问数组的次数在(N+3)到(2N+1)之间。
开头的两次find调用访问数组2次，for循环会访问数组N次，然后：
a.在最好的情况下，q所在的连通分量中，只有q一个成员，内层的if判断只会成立一次。所以总次数=2+N+1=N+3次。

b.在最坏的情况下，除了元素p，其余成员都与q在同一个连通分量中，那么内层的if判断会成立N-1次，总次数=2+N+N-1=2N+1。

假设最后只得到一个连通分量，则至少需要调用union方法N-1次，所以最好情况下，union方法的调用总次数为(N-1)*(N+3)，用~N^2来近似表示，可见在最终得到少数连通分量的场景下，Quick-Find算法的运行时间随问题规模的增长是平方级别的。平方级别、立方级别、指数级别的算法等都无法用来解决大型问题。

Quick-Union算法

接下来的Quick-Union算法相比Quick-Find算法，其Union的速度较快。它也采用相同的数据结构——以触点作为索引的id[]数组，但这次让每个数组元素都代表同一连通分量中另一个分量的名称，实际上同一连通分量的节点构成了一棵树，但数组元素的值等于其索引时，它就是这棵树的根节点。find()操作返回的就是一棵树的根节点，如果两个分量有相同的根节点则表示它们互相连通，否则调用union()方法将其中的一棵树合并到另一颗树上，就完成了两个连通分量的归并。

实现

public int find(int p) {
    while (p != id[p]) {
        p = id[p];
    }
    return p;
}

public void union(int p, int q) {
    int pRoot = find(p);
    int qRoot = find(q);
    if (pRoot == qRoot) {
        return;
    }
    id[pRoot] = qRoot;
    count--;
}

分析

quick-union算法的成本依赖输入的特点，在最好的情况下，一棵树只有根节点自己，find()只需访问数组一次；而在最坏的情况下，树的结构为一颗深度为节点数-1，每一层都只有一个节点，设数的深度为N，这时如果需要查找最底层节点的根节点，find()方法需要访问数组N+(N+1)=2N+1次。

while (p != id[p]) { //N+1次
    p = id[p];  //N次
}

在这种最坏的情况下，为了让树的深度最大，每次新的节点都会连接到树的最底层，输入整数对是有序的0-1，0-2，0-3等，其中0链接接到1,1链接到2，2链接到3，可见union的访问次数为：(2N+1)+1+1=2N+3次

public void union(int p, int q) {
    int pRoot = find(p); //2N+1次
    int qRoot = find(q); //1次，另一个节点的根节点为它自己
    if (pRoot == qRoot) {
        return;
    }
    id[pRoot] = qRoot; //1次
    count--;
}

所以忽略常数3，处理N个节点的访问次数为2*(1+2+…+N)=2*n(n-1)/2，用~N^2来近似表示，则最坏情况为平方级别。

加权Quick-Union算法

Quick-Union算法的速度取决于生成的树的深度，深度越大速度越慢。union操作时，避免将较大的树链接到较小的树可以有效控制树的深度，从而大大改进算法的效率，这便是加权Quick-Union算法。加权Quick-Union算法是在Quick-Union算法的基础上，增加一个数组来记录每颗树的权重（树包含的节点数量），然后在union操作时将权重小的树链接到权重大的树。

实现

public void union(int a, int b) {
    int aRoot = find(a);
    int bRoot = find(b);
    if (aRoot == bRoot) {
        return;
    }

    if (size[aRoot] < size[bRoot]) {  //size[]记录树的权重
        parent[aRoot] = bRoot;
        size[bRoot] += size[aRoot];  //树归并时，权重也会发生变化
    } else {
        parent[bRoot] = aRoot;
        size[aRoot] += size[bRoot];
    }
    count--;
}

分析

关于加权Quick-Union算法的最坏情况，既较要被归并的两棵树的大小总数相等的，且大小都是2的幂（满二叉树），此时N个节点的树的深度为Lg(N)，结合对Quick-Union算法的分析可知加权Quick-Union算法的成本增长数量级为对数级别。

综上，动态连通性问题的求解过程便是一个定义问题、给出初级算法的实现、当算法能解决问题的规模达不到期望时逐步改进算法的过程。并且用经验性的分析（和数学分析）验证改进后的效果，尽量为算法在最快情况下的性能提供保证，但在处理普通数据时也要有良好的性能。