整理自Andrew Ng的machine learning 课程 week5.
目录：
- Neural network and classification
- Cost function
- Backpropagation （to minimize cost function）
- Backpropagation in practice
- Gradient checking
- Random initialization
- Assure structure and Train a neural network
前提：
训练数据集：${(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})}$
L：神经网络的总的层数，total layers，如下图，L=4
$s_l$：第l层的单元数目，如下图，$s_1=3, s_2=5,...$
K：输出层的单元数，如下图，K=4
1、neural network and classification
对于二分类问题（binary classification）：输出为0或1，K=1
对于多分类问题（Multi-class classification）：输出为hot one编码形式，K为类别数目，类似如下：
2、cost function
之前的文章中介绍过logistic regression的cost function为：
$J(\theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^m y^{(i)}logh_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x{(i)}))] + \frac{\lambda}{2m} \sum_{j=1}^n \theta_j^2$
more generally，在神经网络中，$h_\Theta(x) \in R^K，(h_\Theta(x))_i是第i个output$，神经网络的cost function为：
$J(\Theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^K y_k^{(i)}log(h_\Theta(x^{(i)})_k) + (1-y_k^{(i)})log(1-(h_\Theta(x{(i)}))_k)] + \frac{\lambda}{2m} \sum_{l=1}^{L-1} \sum_{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_{l+1}} (\Theta_{ji}^{(l)})^2$
相比于logistic regression：
- 需要把K个输出的损失相加，所以有了K个累加项；
- 在惩罚项里面，需要把除bias unit以外的所有的参数（除$\Theta_0以外的所有\Theta$）都进行惩罚；
3、Backpropagation
有了cost function之后，我们就需要minimize cost function，使用的就是backpropagation算法计算出进行参数更新的值（类似于梯度下降的偏导数），也就是神经网络的损失函数的偏导数：
梯度计算：
- 首先进行forward propagation，计算出每一层的单元值（包括输出层的值）；（上一篇文章的内容）
- 进行backpropagation：（以前提中的神经网络为例）
-
设定$\delta_k^{(l)}$：为第l层上第j个结点的误差error，那么$\delta_j^{(4)}=a_j^{(4)}-y_j$，给出 $ \delta^{(l)}=(\theta^{(l)})^T\delta^{(l+1)}.*g^{'}(z^{(l)}) $，其中$g^{'}(z^{(l)})=a^{(l)}.*(1-a^{(l)})$
- 注意：没有$\delta^{(1)}$，因为$\delta^{(1)}$是观测数据，不存在误差一说，由于在此处计算误差是从后往前，所以这个算法被称为backpropagation
- 给出公式 $\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{ij}^{(l)}}=a_j^{(l)}\delta_i^{(l+1)}$
- 对于每一个训练数据，计算它们的偏导数，并且将其相加，$\Delta^{(l)}:=\Delta^{(l)}+\delta^{(l+1)}(a^{(l)})^T$
- 在所有的训练数据处理完之后，计算损失函数对每一个参数的偏导数，也就是参数的更新参数，$D_{ij}^{(l)}=\frac{1}{m}\Delta_{ij}^{(l)}+\lambda\Theta_{ij}^{(l)}$，当j为0时，$\lambda$为0（$\theta_0$不惩罚）
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4、Backpropagation in practice
unrolling parameters：把矩阵形式的参数展开成向量，为了使用已有的函数对损失函数进行最小化运算；（matrix to vector）
reshape：vector to matrix，在计算偏导数和损失函数时，矩阵运算
5、Gradient checking
做了backpropagation计算了损失函数对每个参数的偏导数之后，我们需要做一个checking来确定偏导数的计算是否正确，数值计算梯度如图所示：
计算公式为：（$\varepsilon$取一个很小的值，领域的概念）
$\frac{J(\theta+\varepsilon)-J(\theta-\varepsilon)}{2\varepsilon}$
对于所有的参数，数值计算偏导数的公式如下：
如果数值计算的梯度和backpropagation算法计算的梯度是近似相等的话，就说明我们的backpropagation做对了，可以继续用backpropagation去计算梯度，训练模型
注意：在确定了backpropagation做对了之后，应该停止gradient checking，因为这种数值计算梯度的方法是十分的computational expensive，如果不停止的话，模型训练的速度会相当的慢
6、Random initalization
如何设定$\Theta$的初始值？在logistic regression中，初始的参数$\theta$被设定为0，那么如果在neural network中也做这种设定呢？
如上所示，如果设定初始的参数全部为0，那么隐藏层的所有的单元的值都会是一样的（在），同时，由后往前传的error $\delta$也会是一样的，由此一来，损失函数对同一个输入对应的参数的偏导数也是一样的，也就是说，虽说是同步更新参数，但其实在网络中同一输入出发的的参数永远都是一样的，也就是说计算出来的隐含单元的值也永远是一样的，$a_1^{(2)}$永远等于$a_2^{(2)}$，如果有更多的隐含单元的话，也是一样的值。无论隐含层有多少的单元数，它们的值都是相同的，这就是一个极度冗余的现象，而且也根本没有发挥出来多个单元该有的作用。
以上问题称之为symmetry breaking，解决的办法是random initialization，设定初始参数时不可以设置为0，而是一些较小的随机数
7、Assure structure and Train a neural network
对于一个neural network的工程，我们首先需要做的是确定这个神经网络的结构（层数，每一层的单元数）：
- 输入单元数：$x^{(i)}$的维度（$x^{(i)}$代表第i个训练数据）
- 输出单元数：类别数
- 每一个隐含层的单元数：通常多多益善
- 默认一个hidden layer，如超过了一个hidden layer，那就默认每一层的单元数相同
结构确定之后就可以开始训练模型了：
- 随机初始化权重参数$\Theta$
- 使用forward propagation计算每一层的单元的值（包括输出层的值）
- 根据以上公式计算cost function
- 使用backpropagation计算偏导数
- 使用gradient checking去验证backpropagation是否做的正确，若正确，则立即停止gradient checking
- 使用gradient descent或者其他的优化函数去最小化cost function，得到权重参数$\Theta$
注意这里的损失函数不是一个凸函数，所以我们很有可能得到的是一个局部最小值，这是ok的。