暂态电路
概念
暂态:从一个平衡态过渡到另一个平衡态的过程。快速变化的信号本质上都是处于暂态过程的对象。
稳态:系统处在运动变化中,运动状态是稳定的。
似稳电路
在一定近似条件下可以简化:
类比准静态,在变化不太快 的情况下
假定任意时刻,电流、电荷分布和电场达到稳定状态
另外似稳条件还忽略涡旋场,所以可以用电势的概念描述。
电路元件
集总元件
把电场集中在很小范围的电容
把磁场集中在很小范围的电感
忽略期间内部的电场和磁场的变化,只在外部应用电流和电压关系。 所以可以使用Kirchhoff定律
线性元件
R、L、C不会随U、I变化
利用微分方程求解似稳条件下的电路
电容方程
对
Q
=
C
U
Q=CU
Q = C U 求导,得
i
(
t
)
=
C
⋅
d
u
d
t
i(t)=C\cdot\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}
i ( t ) = C ⋅ d t d u
RC串联电路
充电过程:共同和电源连通
u
R
+
u
C
=
ε
{\Large u}_R+{\Large u}_C=\Large\varepsilon
u R + u C = ε 即
R
⋅
C
d
u
d
t
+
u
c
=
ε
R\cdot C\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}+u_c=\varepsilon
R ⋅ C d t d u + u c = ε 初值:
u
c
(
0
)
=
0
u_c(0)=0
u c ( 0 ) = 0 求这个微分方程,可得:
u
C
=
ε
(
1
−
e
−
t
τ
)
{\Large u}_C={\large \varepsilon}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})
u C = ε ( 1 − e − τ t ) 其中
τ
=
R
C
\tau=RC
τ = R C ,称为RC电路的时间常数。
i
=
ε
−
u
c
R
=
ε
R
⋅
e
−
t
τ
i=\frac{\varepsilon-u_c}{R}=\frac{\varepsilon}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}
i = R ε − u c = R ε ⋅ e − τ t
放电过程,仅R、C接入
u
c
=
u
0
e
−
t
τ
u_c=u_0e^{-\frac{t}{\tau}}
u c = u 0 e − τ t
RL串联方程
理想自感器模型:只有自感效应(电动势),不考虑R、C、互感
似稳条件下:
u
L
=
−
ε
{\Large u}_L=-\large\varepsilon
u L = − ε
u
L
=
L
d
i
d
t
{\Large u}_L=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}
u L = L d t d i 微分方程:
L
d
i
d
t
+
R
⋅
i
=
ε
L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}+R\cdot i=\varepsilon
L d t d i + R ⋅ i = ε
i
=
ε
R
+
K
e
−
R
L
t
i=\frac{\varepsilon}{R}+Ke^{-\frac{R}{L}t}
i = R ε + K e − L R t 考虑初值:
i
(
0
)
=
0
i(0)=0
i ( 0 ) = 0 得
K
=
ε
R
K=\frac{\varepsilon}{R}
K = R ε 即
i
=
ε
R
(
1
−
e
−
t
τ
)
i=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})
i = R ε ( 1 − e − τ t ) 其中
τ
=
L
R
\tau=\frac{L}{R}
τ = R L
放电对应求电感充电方程的齐次线性方程,代入初值
i
=
ε
R
i=\frac{\varepsilon}{R}
i = R ε :
i
=
ε
R
e
−
t
τ
i=\frac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}
i = R ε e − τ t
并联方程
其作法和串联类似,只不过需要求解二阶方程。 一个重点在初值问题的判断。
例 RLC并联时,连通瞬间:C路近似短路。R、L近似无电流。
原理:电流可突变,电压不可突变。 方法:利用基本物理方程
i
=
C
d
u
d
t
i=C\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}
i = C d t d u
u
=
L
d
i
d
t
u=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}
u = L d t d i
如果R有电流,意味着
u
u
u 在瞬间增大,那么此时电容器电流趋于无穷大,短路,矛盾。
如果L有电流,意味着电压突变,那么电容的电流无穷大,C路短路,矛盾
磁场能
假设似稳条件成立,考虑感应电动势,电路方程
ε
+
ε
0
=
i
(
t
)
R
\varepsilon+\varepsilon_0=i(t)R
ε + ε 0 = i ( t ) R 同乘
i
d
t
i\mathrm dt
i d t 得:
ε
i
d
t
+
ε
i
i
d
t
=
i
2
R
d
t
\varepsilon i\,\mathrm dt+\varepsilon_ii\,\mathrm dt=i^2R\,\mathrm dt
ε i d t + ε i i d t = i 2 R d t 左边第一部分是右端 的焦耳热,于是我们发现左边第二项能量丢失了?
把它定义成磁场能。
磁场能量密度
w
e
=
1
2
B
→
⋅
H
→
=
1
2
μ
0
B
2
−
1
2
M
→
w_e=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H}=\frac{1}{2\mu_0}B^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{M}
w e = 2 1 B
⋅ H
= 2 μ 0 1 B 2 − 2 1 M
利用电路物理量表示为:
d
w
i
=
−
L
d
i
d
t
i
d
t
\mathrm dw_i=-L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}i\mathrm dt
d w i = − L d t d i i d t 故
w
e
=
1
2
L
i
2
w_e=\frac{1}{2}Li^2
w e = 2 1 L i 2
互感线圈系统单位线圈的总磁能
w
m
=
B
→
⋅
B
→
2
μ
0
=
1
2
μ
0
(
B
1
→
+
B
2
→
)
2
=
B
1
2
+
B
2
2
2
μ
0
+
B
1
→
⋅
B
2
→
2
μ
0
w_m=\frac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}=\frac{1}{2\mu_0}(\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2})^2=\frac{B_1^2+B_2^2}{2\mu_0}+\frac{\overrightarrow{B_1}\cdot\overrightarrow{B_2}}{2\mu_0}
w m = 2 μ 0 B
⋅ B
= 2 μ 0 1 ( B 1
+ B 2
) 2 = 2 μ 0 B 1 2 + B 2 2 + 2 μ 0 B 1
⋅ B 2
与互感线圈对应的部分
∭
V
B
1
→
⋅
B
2
→
μ
0
d
V
\iiint\limits_V\frac{\overrightarrow{B_1}\cdot\overrightarrow{B_2}}{\mu_0}\,\mathrm dV
V ∭ μ 0 B 1
⋅ B 2
d V
稳态电路
时刻的电流特征值都不发生改变的电路叫做稳态电路。交流电在振幅、频率、初相稳定时便是稳态电路。
交流电的描述
u
=
U
0
cos
(
ω
t
+
θ
u
)
u=U_0\cos(\omega t+\theta_u)
u = U 0 cos ( ω t + θ u )
频率、周期、角频率
ω
=
2
π
f
=
2
π
T
\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}
ω = 2 π f = T 2 π 三者都是用于描述时间尺度变化快慢的物理量。由电源频率决定。
相位和初相
ω
t
+
θ
u
θ
u
\omega t+\theta_u\\ \theta_u
ω t + θ u θ u 对于一般的已经确定了频率的交流电,我们只需要确定相位即可。
瞬时值、峰值、有效值
峰值:瞬时值随时间变化的幅度
简谐有效值:利用电流热效应进行定义
U
e
=
1
T
∫
0
T
u
2
(
t
)
d
t
=
U
0
2
U_e=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tu^2(t)\,\mathrm dt}=\frac{U_0}{\sqrt2}
U e = T 1 ∫ 0 T u 2 ( t ) d t
= 2
U 0 类似的电流、电源都是
2
\sqrt2
2
的关系。
线性电路的求解
线性电路的稳态过程
达到稳态的过程我们先不讨论。 如果电路时刻都满足似稳条件,在任何时刻,电路中的电压和电流都满足平衡条件,满足Kirchhoff定律。
简谐交流电路方程解的特点
若源电压是稳定不变的简谐函数,则电路有稳态解,且这个解也是同频简谐量。
从而,我们求解线性简谐交流稳态电路的时候,不需要求解微分方程。
稳态电路求解
元件的一般描述——阻抗
Heaviside将“resistance operator”(也就是我们现在所说的阻抗)定义为外加电动势振幅和电流振幅的比值。
q
=
C
u
=
Q
0
cos
ω
t
i
=
d
g
d
t
=
d
d
t
(
Q
0
cos
ω
t
)
=
−
ω
Q
0
sin
ω
t
=
I
0
cos
(
ω
t
+
φ
i
)
u
=
U
0
cos
(
ω
t
+
φ
u
)
=
Q
0
C
q=Cu=Q_0\cos\omega t\\ i=\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(Q_0\cos\omega t)=-\omega Q_0\sin \omega t=I_0\cos(\omega t+\varphi_i)\\ u=U_0\cos(\omega t+\varphi_u)=\frac{Q_0}{C}
q = C u = Q 0 cos ω t i = d t d g = d t d ( Q 0 cos ω t ) = − ω Q 0 sin ω t = I 0 cos ( ω t + φ i ) u = U 0 cos ( ω t + φ u ) = C Q 0 那么,利用有效值的关系,我们可以定义容抗
U
0
I
0
=
△
Z
C
=
1
ω
C
\frac{U_0}{I_0}\xlongequal{\triangle}Z_C=\frac{1}{\omega C}
I 0 U 0 △
Z C = ω C 1 同样地,定义感抗
Z
L
=
ω
L
Z_L=\omega L
Z L = ω L
求解法
复阻抗与阻抗三角形法
背景探明
Kennelly在Heaviside的阻抗概念基础上,将阻抗和几何关系连接起来,利用与
R
R
R 相垂直的两个向量
ω
L
\omega L
ω L (inductance-speed),
1
ω
C
\frac{1}{\omega C}
ω C 1 (capacity-speed-reciprocal)的和,基本统一了三个基本器件的阻碍效应描述。 同时,他著名的文章中提出,如果将电容、电感的阻抗记为
1
j
ω
C
\frac{1}{j\omega C}
j ω C 1 和
ω
L
\omega L
ω L ,它们的运算满足Ohm定律。这与矢量法的结果是一致的。这也是启迪Steinmetz的:
若用复数
a
+
b
j
=
r
(
cos
φ
+
j
sin
φ
)
a+bj=r(\cos\varphi+j\sin\varphi)
a + b j = r ( cos φ + j sin φ ) 表示阻抗,则任何包含 电阻、非铁磁性电感和电容的正弦交流电路都可以使用直流规则处理,相应的代数运算按照复数的运算法则进行··· ··· 据我所知,在这篇论文中,Kennelly率先在电气术语‘阻抗’和复数之间建立了一种对应关系。其重要性在于:研究者关于复平面的分析已比较透彻,因此,将电气问题转化为对复数的分析,就将它们带到一个已知的、理解得比较好的科学领域。”
科学哲学卡片
(化陌生为熟悉)将电气问题转化为对复数的分析,在某种程度上说,这个飞跃是天才的。
一说复数是由Wallis提出的,虽有争论,但Kennelly实在与Wallis如出一辙,不妨写在这里。
科学哲学卡片
(大胆假设)Wallis不愿受传统的严格性和逻辑性的束缚,大胆地采用虽不成熟但较常用的方法:类比法、不完全归纳法以及不太明确的无穷大、无穷小概念,并坦然地对它们作代数运算,从而获得了前所未有的结果。他曾说:“我把(不完全)归纳法和类比当作一种很好的考察方法,因为这种方法的确常常使我们很容易发现一般规律,或者至少是为此而作了一个很好的准备.”关于复数的引入,可能是Wallis写出二次方程显示解的一个大胆尝试。
电路特点
C、L上的电压和电流都简谐周期变化。 但相位不同步。结果量比动因晚
π
2
\frac{\pi}{2}
2 π 个周期 在L、C元件加入普通抗性电路的时候,其总有一个相差
π
2
\frac{\pi}{2}
2 π 的量。
数学理解
同频简谐振动在
x
,
y
x,y
x , y 轴上的分量之和,可以(利用矢量的平行四边形法则)表示成同频转动合矢量在相应坐标轴上的投影。
如果展开,形式上类似方向余弦的展开式。这也是辅助角公式的实质。这里的辅助角也就是阻抗角。
解决原则
在解决比较复杂的电路时,应该把最小的单元中电阻上的电流和电压作为基准矢量。同时,放在一个坐标系 里叠加,注意矢量的模 有实际的物理意义。
对于单纯的串并联电路或极少数的混连电路,各个矢量之间相差不是超前就是落后
π
2
\frac{\pi}{2}
2 π ,所以大都是直角三角形,是易解的。比如下面这个问题
例 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-p3q1Y6KB-1585840890797)(2.png)] 一个有助于熟悉基本方法的例题:三个元件阻抗相同。(详见王稼军老师MOOC10.2.2)
但是我们仍然会发现有比较复杂的电路,当没有给出简明的阻抗关系时,复杂度雪上加霜。 为了解决这样的问题,我们引入了相量法。
相量法
相量法
De Moivre公式之后的复数,被赋予了相对于向量更加优美简明而有力的几何性质。
同频简谐量的求解,并不需要关心
ω
\omega
ω 了,但什么能更加简洁地表示一个稳态交流电路时域量的模长和相角呢?在1894年的论文Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering 中,Steinmetz博士创新性地继承了Kennelly关于复数表示阻抗的观点,提出相量法 ,利用复数向量表示以上的时域表达式,使得交流电运算不简明的缺陷被大大克服。 为Tesla的交流电战胜Edison的直流,以及美国电气工业的后续蓬勃提供了可能。
科学哲学卡片
做研究,要站在前人的肩膀上。
工程技术和理论研究是相互促进的。Steinmetz是为了工程竞标才着眼总结相量法,转而大大优化了他在Niagara瀑布发电站的交流电机的工程分析。
原理 :简谐函数记作复数,利用这个复数进行计算之后,再取实部作为所求的解,就是相量法的实质。
为什么适用?
Fourier变换可以将大量满足条件的函数表示成简谐函数的和
Euler公式可以将简谐量与复数连接起来
Euler公式的另一端是
e
e
e 的指数函数,求导、积分的性质优良。
从而,我们可以就将微积分运算化成初等代数运算,这是最卓著的优化之一:
d
d
t
A
~
=
d
d
t
[
A
0
e
j
(
ω
t
+
θ
)
]
=
j
ω
A
~
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\widetilde{A}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[A_0e^{j(\omega t+\theta)}]=j\omega \widetilde{A}
d t d A
= d t d [ A 0 e j ( ω t + θ ) ] = j ω A
∫
A
~
=
∫
[
A
0
e
j
(
ω
t
+
θ
)
]
=
1
j
ω
A
~
\int\widetilde{A}=\int [A_0e^{j(\omega t+\theta)}]=\frac{1}{j\omega}\widetilde{A}
∫ A
= ∫ [ A 0 e j ( ω t + θ ) ] = j ω 1 A
利用这个求得基本电路元件的电路方程的复数表示:
i
~
=
C
d
d
t
[
U
0
e
j
(
ω
t
+
φ
)
]
=
j
ω
C
U
~
\widetilde{i}=C\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[U_0e^{j(\omega t+\varphi)}]=j\omega C\widetilde{U}
i
= C d t d [ U 0 e j ( ω t + φ ) ] = j ω C U
u
~
=
L
d
d
t
[
I
0
e
j
(
ω
t
+
φ
)
]
=
j
ω
L
i
~
\widetilde{u}=L\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}[I_0e^{j(\omega t+\varphi)}]=j\omega L\widetilde{i}
u
= L d t d [ I 0 e j ( ω t + φ ) ] = j ω L i
这与复阻抗是一致的。
以上是这个阶段解题所需用的部分。 在这个过程当中,将一般的微分方程、三角变换、微积分运算,连同
t
t
t 量一同抵消掉了,这是极其伟大的。
关于相量形式的Kirchhoff定律,以及频率特性等留待以后讨论。