[note] 电磁场和微波课组（一）——电磁学（电学部分）

前言

基础课，可能在知识层面上会磨灭，但注定在思想与方法的塑造上，是会影响终身的。

电磁学的形成

1. • 电磁现象的发现
   • 电磁定律的确定
   • 电磁场理论的建立
2. • 电子的发现
   • 微观电磁结构的揭示
   • 电磁技术的广泛应用

形成物理学中的一个区别于力学、热学的重要新领域——电磁学。首次向我们展示了场的图像，介绍了场的概念。

电磁学的主要问题

电磁相互作用

自然界中的一种基本的相互作用，对原子和分子的结构起着关键性的作用，因而很大程度上决定各种物质的物理性质和化学性质

电磁过程

自然界的基本过程之一，带电粒子因受电磁作用在各种特定条件下的运动，形成了电工学、电子学、等离子体物理学和磁流体力学等分支学科。

电磁学的发展及应用

19世纪，Faraday和Maxwell建立的电磁场理论及其实验验证，深刻揭示了电磁作用的机制和本质，证实了电磁场是区别于实物的又一种客观存在，得出光是电磁波的重要结论，完成了电、磁、光的理论大综合。

19世纪以来，电磁学相关研究极大推动了电力、电子、电讯工业的发展，电磁材料的研制、电磁测量技术的应用，对人类的物质生产、技术进步和社会发展带来了难以估量的广泛深刻影响。

电磁学所涉及的内容

是经典物理的基本组成部分

• 普物层次———电磁学
• 理论物理层次———电动力学

与其他物理分支的对比

学科	对象	数学工具
力学	质点、刚体、连续介质	运动方程（可逆、决定论）
热学	大量粒子构成的体系	分布（不可逆、概率论）
电磁学	场（电磁场，矢量场），路：稳恒电路，交流电路	场的通量、环流（场论）

对象的变化表示物理学的进步，要适应新的研究对象，学会新的研究方法。

学习方法与提醒

逻辑思维的同时，要注意直觉。
悟物穷理，多问为什么
中学物理与大学物理的区别：

• 研究对象与数学工具的变更
• 理论体系更为完善
• 认知方法和授课方式的变更

提醒

• 及时复习，及时总结
• 三基：基本概念、内容和解题方法
• 适当拓展，课内外结合
• 量力而行，不要跟风

Coulomb定律

• 一个物理定律建立，本身就是物理学取得很大进展的标志
• 物理定律具有丰富、深刻的内涵和外延。
• 对于基本定律，我们究竟从哪些方面去考察

物理定律建立的一般过程

1. 观察、提问并猜想
2. 实验证实、归纳规律
3. 形成理论（常常需要引进新的物理量或者模型，找出新的内容，正确表述）
4. 考察成立条件、使用范围、精度、理论地位与现代含义

Franklin与Priestel提出问题并类似万有引力定律解释杯内橡木球不受力的原因。
并类比地提出电力与距离平方成反比

Robison首先用直接测量确定电力规律。后来Cavendish遵循Priestel的思想设计了电力平方反比律，如果实验测定的带点空腔导体的内表面确实没有电荷，就可以确定电力定律是遵从平方反比律的，即 $f\propto r^{-2\pm\delta}$，其中 $\delta$表征内壁的电量。

Coulomb利用扭秤和电摆分别测定验证了平方反比律。

$\bm{f}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\cdot\hat{\bm{r}}\begin{cases}f\propto r^{-2+\delta}, &实验结果\\f\propto q_1q_2, &类比万有引力，定义电量\\\bm{f}\parallel\hat{\bm{r}},&对称性的结果\\k，&k是基于单位制产生的常数\end{cases}$

成立条件

静止的源

要求点电荷相对静止，且相对于观察者也静止。

可以拓宽到静源——动电荷。
但不可以拓宽到动源——静电荷。

因为，作为运动源，有一个推迟效应，看上去与牛三矛盾，实际上正说明了电荷之间有场。因为牛顿第三定律是超距作用观点，本质是动量守恒。场的动量发生变化，作用力不对等。

真空条件

为了去除其他电荷的影响，使两个点电荷只受对方作用。
如果真空条件被破坏，会如何？还有极化电荷，比真空时更加复杂。
由于力的独立作用原理，两个点之间的力仍然遵循库仑定律。也正因为这一点，库仑定律可以推广到介质、导体

理想模型

点电荷是忽略了带点体形状、大小以及电荷分布情况的电荷。几何线度远远小于距离，从而可以忽略不计。

适用范围和精度

原子核尺度——地球物理尺度
天体物理、空间物理 大体无问题

精度：

时代	精度
Coulomb	$\delta<10^{-2}$
1971年	$\delta<10^{-16}$

理论地位和现代含义

库仑定律是静电学的基础，说明了：

• 带电体的相互作用问题
  • 原子结构，分子结构，固体、液体结构
  • 化学作用的微观本质
  • 都与电磁力有关，其中主要部分是库仑力
• 静电场的性质

如果精度不在范围之内，
首先：高斯定理将不成立。
其次：光子静质量是否为零

• 电动力学的规范不变性被破坏
• 电荷不守恒
• 光子偏振态发生变化
• 黑体辐射公式要修改
• 会出现真空色散，破坏光速不变性

电量单位——MKSA制

(m, kg, s, A)
1 Coulomb：导线种通过1 Ampere稳恒电流时，一秒钟内通过导线某一给定截面的电量，为
$1C=1A\cdot s$
若 $F=1N, q_1=q_2=1C,r=1m$，则 $k=8.89880\times10^9N\cdot m^2/C^2\approx9\times10^9N\cdot m^2/C^2$

我们也可以使用CGSE单位制(centimeter, gram, second–Electro)或者称作esu( $\color{#FF0000}\mathrm e$lectro $\color{#FF0000}\mathrm s$tatic $\color{#FF0000}\mathrm u$nit，绝对静电单位制)，利用C-定律定义，令： $k=\frac{1}{\varepsilon}=1, q_1=q_2, r=1cm, F=1dyn$(达因， $1\times10^{-5}N=1cm/s^2\cdot1g$)，则电量 $q$的单位为1CGSE电量， $1C=\frac{c}{10}e.s.u.=3\times10^9e.s.u.$

环路定理与电势

环路定理

在证明Gauss定理的时候，我们要使用到电力平方反比律，但在证明环路定理的时候是不需用的。比如弹性力（或其他有心力）也满足这样的条件。因而我们说环路定理和Gauss定理是独立的。

这些力只和位置有关，可以引入势函数来表示。环路定理正是依托这样的关系才能实现一个环路中的效应可逆。

电势能与电势

电势能和试探电荷有关，为了描述电场的性质，我们从中扣除 $q_0$即得电势。

电势零点的选取：可以任意选择，选在场弱，变化不太剧烈的点

地和无穷远处实际上是不等电势的，由于大气中有一个地球所带负电荷与大气中等离子体产生的静电场。所以如果机械计算的话，地与无穷远存在电势差。但通常不考虑这种差异，理想情况下，我们可以将系统与地放得足够远，从而接地近似为无穷远。或者干脆因为目的在于电势差这个相对的量，通常我们没有必要去理会这种差异。

求电势

• 电势定义
  $U_P=\int_P^\infty\overrightarrow{E}\mathrm d\mathbf\ell$
• 电势叠加：各自算完再叠加

（由于是标量，所以比矢量叠加的定义法求电势简单）

电场强度与电势

引进等势面，形象性地讨论这些电学量的关系。

$1^。$电力线（场强）与等势面（电势）正交。

$2^。$(量关系：引入梯度)场强方向与电势降最快方向（梯度）同。

• $3^。$已知电势求场强（微分），已知场强求电势（积分）需要邻域内可知。

导体与静电平衡

• 研究方法：
  将静电场的基本规律用到导体这种物质上
• 研究对象：

1. 具有大量自由电子的导体在受到电场力作用以后的行为，以及达到静电平衡以后的场的性质。
2. 导体空腔、静电屏蔽，电容器。

• 说明：
  电磁学较多地讨论场，不研究物质本身性质
  不讨论表面层电荷的复杂分布
  （实际）物体既有自由电子，又是电介质
  只讨论平衡结果，不讨论加电到平衡的过程（仅定性）

静电平衡

条件

内场与外场平衡

性质

实际上就是静电平衡的条件的推论。

电势分布

导体是一个等势体，任意两点 $U_{ab}=\int_a^b\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\bf\overrightarrow{\ell}=0$，表面是等势面。

场强分布

内部处处为0；表面场强与面垂直。

电荷分布

内部无未被抵消的净电荷，无：

1. 电荷分布变化
2. 电荷宏观运动

宏观电荷只能分布在表面
孤立导体面电荷密度与曲率半径没有单一函数关系，只有一个定性关系。“尖端放电”。

静电屏蔽

导体静电平衡条件决定

腔内无带电体

腔内包围导体空腔的导体壳内表面上处处没有电荷。电荷分布在外表面。

在腔体的实部取一个Gauss面，分析知面上处处场强为零（导体静电平衡的必然结果）由Gauss定理，内部净电荷为0，要么是内表面无电荷，要么内表面代数和为0（但这又违背了电势分布，从而内部无电荷）

腔内有带电体

导体内表面上所带电荷与内部电荷量相等。

屏蔽原理

外表面以外空间符合唯一性定理，存在唯一解。此解等同于同样外边面条件下，用导体材料将空腔填满（要么是其中无电荷，要么就两相平衡所以对外表现宏观无电荷）后的解。推知，外表面及外空间的电荷在腔内空间的总场强为零。简记为“腔外对腔内无影响”

电极化与电容器

电流密度与电流场

电流场的通量

$\oiint\limits_S\overrightarrow{j}\,\mathrm d\overrightarrow{S}$

电流强度和电流密度互相求解

$I=jS$

电流分布的理想模型

• “线”电流
• 面电流
• 体电流

电流密度与电荷运动（*）

• 连接微观和宏观 $j=nqv$很重要！

电流的连续方程（*）

（实际应用时重要）

电荷守恒：流出的电荷（电流场通量）等于面内电量的减少。
$\oiint\limits_S\overrightarrow{j}\cdot\,\mathrm d\overrightarrow{S}=-\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint\rho\,\mathrm dV$
微分形式为
$\iiint\limits_V(\nabla\cdot \overrightarrow{j})\,\mathrm dV=-\iiint\limits_V\frac{\partial}{\partial t}\rho \,\mathrm dV$
从而得
$\nabla\cdot\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$
即：任何一点电流密度的散度等于该点电荷体密度的减少。

稳恒电流

虽然不是静止，但仍然满足恒定条件。
$\oiint\limits\overrightarrow{j}\,\mathrm d\overrightarrow{S}=0\\ \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=0\\ \nabla\cdot\overrightarrow{j}=0,\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

Ohm定律

物质中存在电流时，一般也伴有（稳恒）电场
稳恒电场可以利用基本的静电场理论进行讨论，例如环路定理。（这是KVL的基础）
以下要谈到的Ohm定律首先就是解决电流和场强关系的一个好方法。

Ohm定律积分形式（高中）

基本概念：欧姆定律、电阻、电导
仅适用于金属和电解液。但由于这两类导体使用范围极广，所以Ohm定律仍然具有普适性
但可以推广出

Ohm定律的微分形式 $j=\sigma E$

• 物理意义：电荷与电场关系
• 欧姆定律的微观解释：平均碰撞间隔时间之间的加速平均结果由电场强度决定，这个解释也符合温度特性。

关于电阻率和电导率

一般情况下是一个标量。
但也要注意导体的非理想导电性能：分布的不均匀性（台体导体难解）、欧姆线性的电压范围条件性、温度的影响等

电路与直流电

电源与电动势

• 能量转化为电势能（非静电力做功）
• 电动势：内部负极移到正极

直流电路的解法

• 基尔霍夫方程组（电荷守恒+环路定理）
• 应用定律讨论电阻端电压和电流