概率论知识点整理

概率论 （《概率论与数理统计》 主编 金大勇 徐永）

1.2.3 概率的性质

加法定理
A,B是任意两个事件，则P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）
A,B是任意两个事件，则P（A-B）=P（A非B）=P（A）-P（AB）

1.3 古典概型（抽球！）

1.4 条件概率

定义1.4 A，B是两个事件，且P（A）>0，称P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A),即有 P(B|A)=P(AB)/P(A)
条件概率也满足
P（（~B）|A）=1-P（B|A）
P((B1UB2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P[(B1B2)|A]
当B属于C时，P[(C-B)|A] =P(C|A)-P(B|A)

典型考题：考察一个有两个小孩的家庭，假如已看见该家庭中的一个小孩是男孩，问另一个小孩也是男孩的概率是多大（假设另一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）
设A：已看见一个是男孩 A={(男，女),(女，男),(男，男)} B=另一个小孩是男孩 AB={(男，男)}
P(A)=3/4 P(AB)=1/4
P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4) / (3/4) =1/3

定义1.8（概率乘法公式）
若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)
若P(A)>0,P(AB)>0,则P（ABC）=P(A)P(B|A)P(C|AB)

定理1.9 （全概率公式）
设A1，A2，A3是样本空间 Ω的一个划分，B是任意一个事件，则P(B)= ∑P(Ai)P(B|Ai) （从i到n求和）

定理1.10（贝叶斯公式）
P(Ai|B)=P(AiB)|P(B)= P(Ai)P(B|Ai) / Σ从k=1加和到n（P(A_k)P(B|A_k)）

1.5随机事件的独立性

P(AB)=P(A)P(B)代表 A 和B事件相互独立

1.5.1两个随机事件的独立性

1.5.2多个随机事件的独立性

1.5.3 n重伯努利试验（抛硬币，射击，天气预报）

抛硬币就是N重伯努利试验，特点：
在每次试验中，任意事件出现概率与其他各次试验的结果无关
一次试验只有两个结果：A和 非A

定理1.13 在伯努利试验E中，成功的概率是p,即P（A）=p，则在n重伯努利试验En中，成功k次的概率是：
P_n(k)=C_n ^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,…,n.

2.2 离散型随机变量

2.2.2 几种常见的随机型随机变量

二项分布
设随机变量X的分布列为
P_k=C_n ^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,…,n;0

2.3 连续型随机变量

2.3.2 几种常见的连续型随机变量

均匀分布
正态分布：
设随机变量X服从正态分布N（μ，σ ²），则E（x）=μ，D（x）=σ ²
指数分布
设随机变量X服从参数为λ的指数分布，D(x)=1/λ ²

随机变量的数字特征

数学期望

4.1.4数学期望的性质

性质1 设c是常数，则有E(c)=c
性质2 设X是随机变量，c是常数，则
E(cx)=cE(X)
性质3 设X,Y是任意两个随机变量，则有
E（X+Y）=E（X）+E（Y）
性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量，择优
E（XY）=E(X)E(Y)

方差

D（X）=Var(X)=E{[X-E(X)]²}
经过计算整理得
D(X）=E（X²）-E[(X)]²
性质1 设c是常数，则有D（c）=0 证明略
性质2 设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c²D(X). 证明略
性质3 设X,Y为任意两个随机变量，则
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{[X-E（X)][Y-E(Y)]}
特别，当X与Y相互独立时，有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
证明略

期望 和 方差 例题

例题1：若ξ，η相互独立且同服从分布N(0，1) ，Z=ξ+2η，则（ ）
由题意知 E（ξ+2η）=E（ξ）+2E（η）=0+2*0=0
D(ξ+2η)=D（ξ）+2² * D（η）1+4 * 1=5
所以：E(z)=0,D（z）=5,Z~N(0,5)
注明： N（0,1）的N 表示正态分布，0是均值，1是方差

例题2：
若ξ~N(0，1),η=2ξ+1，则η~（ 1,4 ）
由题意知： E(η)=2E(ξ)+1=2 * 0+1=1
D(η)=2²D(ξ)=4 * 1=4

几何概型（画图求阴影面积！）

在区间[-2, 2]里任取两个实数，它们的和>1的概率是(9/32)
解析：
画直角坐标系，x和y的取值范围都在[-2,2]，所以是一个面积为4 * 4=16的正方形
画x+y=1,即y=-x+1的直线，与正方形相交于(-1,3)和(2,-1)，所以线与正方形围城一个面积为3 * 3 * 0.5=4.5的三角形
所以概率为4.5/16=9/32

三集合容斥原理

AUBUC=A+B+C-A交B-B交C-A交C+A交B交C
例题：参加支付宝夜谈分享的同学共有50人，现设有甲、乙、丙三个夜谈主题。有40人选择参加甲夜谈主题，36人选选择参加乙夜谈主题，30人选择参加丙夜谈主题，兼选甲乙夜谈主题的有28人，兼选甲丙夜谈主题的有26人，兼选乙丙两门夜谈主题的有24人，甲乙丙三个夜谈主题均选的有20人，问三个夜谈主题未选的有多少人？( 2)

例题：假设一段公路上，1小时内有汽车经过的概率为96%，那么，30分钟内有汽车经过的概率为?
解析：一小时有车的概率 = 1 - 一小时没车的概率 = 1 - 两个半小时都没车的概率 = 1 - （1 - 半小时有车的概率）^2
1-(1-x)^2=0.96
x = 0.8

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定义D内容

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def somefunc(param1='', param2=0):
    '''A docstring'''
    if param1 > param2: # interesting
        print 'Greater'
    return (param2 - param1 + 1) or None
class SomeClass:
    pass
>>> message = '''interpreter
... prompt'''

脚注

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$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

更多LaTex语法请参考 这儿.

UML 图:

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• 关于 序列图 语法，参考 这儿,
• 关于 流程图 语法，参考 这儿.

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