地宫取宝（记忆化搜索）

X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】

输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>，不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路一：直接深搜，但是会超时

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
int n,m,k;
ll cnt=0;
int price[55][55];
//maxx为最大价值，sk为物品数量 
void dfs(int x,int y,int maxx,int sk)
{
	if(x>=n||y>=m) return;
	if(x==n-1&&y==m-1)
	{
		if(sk==k || sk==k-1&&maxx<price[x][y])
		{
			cnt++; 
		}
	}
	if(x+1<n)
	{
		if(price[x][y]>maxx)
		{
			dfs(x+1,y,price[x][y],sk+1);
		}
		dfs(x+1,y,maxx,sk);
	}
	if(y+1<m)
	{
		if(price[x][y]>maxx)
		{
			dfs(x,y+1,price[x][y],sk+1);
		}
		dfs(x,y+1,maxx,sk);
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<m;j++)
	{
		scanf("%d",&price[i][j]);
	} 
	dfs(0,0,0,0);
	cout<<cnt%mod<<endl;
	return 0;
}

改进一下思路：记忆化搜索-需要一个dp数组保存当前的值

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int n,m,k;
int dp[55][55][15][15];
int price[55][55];
//maxx为最大价值，sk为物品数量 
int dfs(int x,int y,int maxx,int sk)
{
	if(dp[x][y][maxx+1][sk]!=-1) return dp[x][y][maxx+1][sk];
	int cnt=0;
	if(x==n-1&&y==m-1)
	{
		if(sk==k || sk==k-1&&maxx<price[x][y])
		{
			cnt++; 
		}
		return dp[x][y][maxx+1][sk]=cnt;
	}
	if(x+1<n)
	{
		if(price[x][y]>maxx)
		{
			cnt+=dfs(x+1,y,price[x][y],sk+1);
			cnt%=mod;
		}
		cnt+=dfs(x+1,y,maxx,sk);
		cnt%=mod;
	}
	if(y+1<m)
	{
		if(price[x][y]>maxx)
		{
			cnt+=dfs(x,y+1,price[x][y],sk+1);
			cnt%=mod; 
		}
		cnt+=dfs(x,y+1,maxx,sk);
		cnt%=mod;
	}
	dp[x][y][maxx+1][sk]=cnt;
	return dp[x][y][maxx+1][sk];
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<m;j++)
	{
		scanf("%d",&price[i][j]);
	} 
	memset(dp,-1,sizeof(dp));     //表示未搜索的状态 
	dp[0][0][0][0]=dfs(0,0,-1,0); //maxx初始值为-1 因为宝物价值有可能为0 
	cout<<dp[0][0][0][0]<<endl;
	return 0;
}

地宫取宝（记忆化搜索）

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