机器学习入门-线性代数学习笔记2

线性方程组是齐次的,可以写成Ax=0的形式,这种方程至少有一个解,就是x=0,被称为平凡解。

重要的是方程是否有非平凡解,即x!=0,

为什么能通过“存在与唯一性定理”推导出,Ax=0有非平凡解,就意味着方向至少有一个自由变量?

因为线性方程组相容的话,解有两种情况,一种是有唯一解,那也就是0 ,另一种是有无穷多解。

因为从几何来看,一个方程代表着一条直线,而两个方程的解,则代表一个这两直线共有的点也就是交点,或者这两条直线重合,那也就意味着这两个方程有无限多的解。

现在再来看Ax=0,要么x=0,要有有无限解。

那么再讨论,Ax=0意味着什么?

意味着一个矩阵,扩大x倍后等于0。

所以x=0肯定是其中的一个解。

为什么几何意义下,解集R3是过0的直线。

因为R3是x的向量空间。

另外,非平凡解的向量空间中也会出现0元素,但只要不是全0就可以,全0就是平凡解了。

Ax=b为什么可以分解成向量p+Ax=0的解?

因为Ax=0的解是x=tv

而Ax=b的解则是x=p+tv

同时向量p也是Ax=b的特解,在t也就是x3=0时。

Ax=0和Ax=6在几何上的表示关系为:Ax=b为Ax=0的平移,感觉上确实如此,因为b=b+0。

是因为Ax=0是b为0时的特殊情况,所以,它是过原点的Ax=b。

向量和直线的关系:

向量可以表示一条直线,而直线通常用方程表示,比如y=ax+b,那方程能转换成向量吗?

是这样,向量通过坐标点,连接原点之后,可以直接表示成一条直线,而直线方程是可以表示无限个经过这条线的点,所以线的方向是向量的抽象表达。

不对,向量不是直线,向量是由原点引出的带箭头的线段,和直线不一样。

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转载自www.cnblogs.com/eidolongo/p/12284731.html

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