线性代数学习笔记——第二章(上)
老样子，不放图，本打算一章一篇笔记，但是发现这一章的笔记是真的多，可能是我太菜的缘故，光这篇笔记就花了4个小时，还有：在Typora中^^是上角标，但是博客园没有LaTeX属性，导致一些很奇怪的地方，哎！看来这里还是只能做代码笔记。
矩阵概念
- 零矩阵：元素都是0的矩阵（有形状），零矩阵不一定相等。
- 负矩阵：所有元素取相反数，例如：A的负矩阵为-A。
- 实矩阵：所有的元素都是实数的矩阵。
- 复矩阵：所有的元素都是复数的矩阵。
- 行矩阵：只有一行元素的矩阵。
- 列矩阵：只有一列元素的矩阵。
- 单位阵：主对角线上为1，其余元素全为0的方阵，记做：E或I。
- 同型矩阵：行数和列数对应相等。
- 行矩阵知识方阵的一个属性。
- 矩阵相等：同型矩阵且值对应相等。
- 不是方阵没有主对角线和次对角线。
矩阵运算
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只有同型矩阵才能相加减：对应元素相加减。
- 运算规律（均为同型矩阵）：
- A+B=B+A；
- (A+B)+C = A+(B+C);
- A+O = A;
- A+(-A) = O;
- A+B = C —> A = C-B;
- 运算规律（均为同型矩阵）：
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矩阵乘法：
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用k乘以矩阵，相当于k乘以矩阵的所有元素。
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矩阵相乘的规则：
- 前提：左矩阵列数=右矩阵行数。
- 结果矩阵：行数=左矩阵行数；列数=右矩阵列数。
- 宋氏七字口诀：中间相等，取两头。
- 用第一个矩阵的第一行乘第二个矩阵的第一列，对应的元素相乘再相加，放置在第一行第一列。
- 用第一个矩阵的第一行乘以第二个矩阵的第二列，对应的元素相乘再相加，放置在第一行第二列。
- 同理……
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运算法则：
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k(AB) = (kA)B+ A(kB);
- (A+B)C = AC + BC;
- (AB)C= A(BC);
- AE=A;EA=A;这里的单位矩阵E的形状可能不同。
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不满足的规律：
- 多数情况下：AB\(\neq\)BA;
- AB=0 \(\nrightarrow\) A=0 或者 B=0；
- AB=AC，A$\neq$0 \(\nrightarrow\) B=C;
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一个矩阵可以交换，必要条件就是该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。
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矩阵运算的一些公式：
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A^0^=E
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(A^k1^)^k2^=A^k1k2^
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A^k1^*A^k2^=A^(k1+k2)^
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(AB)^k^
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一般情况下：(AB)^k^\(\neq\)A^k^B^k^
- eg: (AB)^2^=ABAB；A^2^B^2^=AABB;
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但是：（A\(\pm\)E)^2^=A^2^$\pm$2AE+E^2^
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- 矩阵转置：A^T^：
- (A^T^)^T^=A
- (A+B)^T^=A^T^+B^T^
- (kA)^T^=kA^T^
- (AB)^T^=B^T^A^T^ (这里注意顺序须要颠倒)
特殊矩阵
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数量矩阵：主对角线元素全部相等，其余元素为零。
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对角线矩阵：主对角线上有值，其余为零。对角型矩阵可以以diag(……)的方式来写。
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三角矩阵：上三角矩阵、下三角矩阵。
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对称矩阵：主对角线为轴，上下元素对应相等的矩阵。
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所有的对称矩阵基本会用到A^T^=A的公式。
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A、B对称，A、B可交换
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eg：(AB)^T^=AB
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充分性：(AB)^T^= B^T^A^T^=BA=AB
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必要性：A和B可以交换，所以AB=BA，所以(AB)^T^=AB，所以AB是对称矩阵。
- eg:（AA^T^)^T^=(A^T^)^T^A^T^=AA^T^，所以AA^T^是对称矩阵。
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反对称矩阵：主对角线元素全部为零，上下元素对应成相反数的矩阵。
- eg：a~ij~ =-a~ji~，对于主对角线上的元素，移项，\(\Rightarrow\) a~ii~ =0;
- A^T^= - A.
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对于（反）对称矩阵，两个同阶（反）对称矩阵的和、差和数乘仍然是（反）对称矩阵，但是两个（反）对称矩阵的乘积一般不再是（反）对称矩阵。
逆矩阵
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不要把矩阵放到分母的位置
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方阵的行列式：
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方阵A的行列式为：|A|。
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行列式为一个数，矩阵为一个数表，因此，方阵的行列式仅仅为方阵的一个属性。
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性质：
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|A^T^| = |A|
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|kA| = k^n^|A|
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|AB| = |A||B|，AB为同阶
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例题：A为5阶方阵，|A| = 3,求|-A|、||||A|A|A|A|。
1）、|-A|=(-1)^5^|A|=-3。
2）、||||A|A|A|A|=|||3A|A|A| = ||3^6^A|A| = |(3^6^)^5^|A|A| = |(3^31^)A| = 3^155^|A|=3^156^。
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伴随矩阵:
- 只有方阵才有伴随矩阵A^*^，同时任何方阵都有伴随矩阵，如果只有一个元素的矩阵，那么他的伴随矩阵为E或者[1]。
- 伴随矩阵是所有元素的代数余子式按列放构成的矩阵。
- 口诀：按行求，按列放。
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逆矩阵的定义：
- 设A是一个n阶方阵，如果存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，那么B就叫A的逆矩阵，记作：A^-1^=B。(切记不可写成\(\frac{1}{A}\))。
- 未必所有方阵都可逆，比如零矩阵。
- 可逆矩阵的方阵的逆矩阵唯一。
- AA^-1^=A^-1^A=E。
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方阵可逆的条件：
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若方阵A的行列式∣A∣≠0，该方阵叫做非奇异（非退化、满秩）矩阵；反之，若方阵A的行列式∣A∣=0，该方阵叫做奇异（退化、降秩）矩阵。
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矩阵A可逆的充分必要条件为：∣A∣≠0。
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A^-1^=\(\frac{1}{|A|}\)A^*^（前提是上一步成立）。
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若A、B都为n阶方阵，∣A∣≠0且AB=E或者BA=E，则A可逆，并且A^-1^=B。
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求逆矩阵常用初等变换法，很少使用伴随矩阵法。
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矩阵方程：
- 注意提取公因子的方向；
- 矩阵不能加减一个数，需要补上单位矩阵E；
- 永远不要把矩阵放在分母上；
- 一定先判断行列式不等于零，矩阵才可逆，再求逆矩阵；
- 求逆矩阵时，待定法（假设法）过于复杂，不建议使用；
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逆矩阵的性质;
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若A可逆，则A^-1^可逆，且(A^-1^)^-1^=A;
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A、B都可逆，则AB可逆，(AB)^-1^=B^-1^A^-1^;
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A可逆，因此：A^T^也可逆，并且（A^-1^)^T^=(A^T^)^-1^;若k$\neq\(0，(kA)^-1^=\)\frac{1}{k}$A^-1^;
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|A^-1^|=|A|^-1^;
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A可逆时，A^^也可逆，并且(A^^)^-1^=\(\frac{1}{|A|}\)A;
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伴随矩阵的常用公式：
- A^^A=AA^^=|A|E。
- |A^*^|=|A|^n-1^。
- 因为A^−1^=\(\frac{1}{∣A∣}\)A^∗^，所以∣A∣A^−1^=A^∗^，即A^∗^=∣A∣A^−1^；
- (A^^)^^=|A^^|(A^^)^-1^=|A|^n-1^\(\frac{1}{|A|}\)A=|A|^n-2^A;
- ((A^^)^^)^^=|A^^|^n-2^A^^=(|A|^n-1^)^n-2^|A|A^-1^=|A|^nn-3n+3^A^-1^;