2020牛客暑期多校训练营第六场Harmony Pairs

Harmony Pairs

原题请看这里

题目描述：

设 $S(x)$表示十进制表示下 $x$的每位数字之和，当 $S(A)$ $>$ $S(B)$时 $(A,B)$表示一个和谐对。
给定一个数 $N$，求满足 $0≤A≤B≤N$的和谐对 $(A,B)$的数量，答案对 $10^9+7$取模。

输入描述：

输入只有一行，表示一个整数 $N$ $($ $1$ $≤$ $N$ $≤$ $10^{100}$ $)$

输出描述：

输出一个整数，表示答案。

样例输入：

100

样例输出：

967

思路：

一看到这个 $N$的取值范围，又看到和数字有关，那不就是数位 $dp$嘛…
首先，我们回想数位 $dp$的做法 $：$暴力枚举，使枚举方式满足 $dp$数组各维度的性质，最后再记忆化。
数位DP详解
接下来我们就可以看这道题目了，我们确定 $dp$数组的第一个维度为 $pos$，表示当前所在的位置。
然后我们很容易想到第二个和第三个维度分别表示 $A$前面的位数和和 $B$前面的位数和，第四个和第五个维度分别表示 $A$的高位是否与 $B$的相同， $B$的高位是否与 $N$相同，那么问题来了，如果这样开数组，那么 $dp$数组就是这个样子的：
$dp[100][900][900][2][2]$
可这明显开不下呀！
这时我们就想第二第三个维度是否可以简化？答案是肯定的！我们将二三两个维度压缩成一个维度，表示 $A$前面的位数和 $-$ $B$前面的位数和，那么 $dp$数组就可以变为：
$dp[100][2000][2][2]$
解决了 $dp$数组的问题，接下来就好办了，具体做法详见代码。

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=105;
const int mod=1e9+7;
int dp[MAXN][MAXN*20][2][2],dig[MAXN],len;
char s[MAXN];
ll dfs(int pos,int sum,int lit1,int lit2)
{
	if(!pos) return sum>1000;//1000的偏移量可以保证差值非负
	if(~dp[pos][sum][lit1][lit2]) return dp[pos][sum][lit1][lit2];//如果已经搜过了就直接返回值
	ll ret=0;
	for(int i=0;i<=(lit1?dig[pos]:9);i++)//限制条件B<=N
		for(int j=0;j<=(lit2?i:9);j++)//限制条件A<=B
			ret=(ret+dfs(pos-1,sum+j-i,lit1&i==dig[pos],lit2&i==j))%mod;
	return dp[pos][sum][lit1][lit2]=ret;//记忆化
}
int main()
{
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	scanf("%s",s);
	len=strlen(s);
	for(int i=0;i<len;i++)
		dig[len-i]=s[i]-'0';
	printf("%lld\n",dfs(len,1000,1,1)%mod);
}