原题
题目描述
设
表示十进制表示下
的每位数字之和,当
>
时,(A,B)表示一个和谐对。(
100)
给定
,求满足
的和谐对的数量,答案对
9
取模。
样例
输入
100
输出
967
思路
因为
100,所以直接存储或者直接暴力都不行。
这时候我们会想到记忆化,而且输入的数字数位非常多,所以我们可以想到用树形DP做这道题。
首先我们会想到,
表示考虑第
个数字,
表示
,
表示
,
表示前pos-1位数字
与
是否相等,
表示前pos-1位数字
与
是否相等。
但是这样算出来的复杂度似乎有些问题。
因为我们并不要知道
与
具体各自的数字是多少,只需知道它们的差即可。
又因为它们的差值可能为负数,所以刚开始基准的数字至少要
,所以数组大小至少要
。
因此,我们可以想到。
表示考虑第
个数字,
表示
,
表示前pos-1位数字
与
是否相等,
表示前pos-1位数字
与
是否相等。
这样就可以解决复杂度的问题。若还不理解,可以看看代码。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7,maxn=105;
char a[maxn];
int n,dp[maxn][maxn*20][2][2];
int dfs(int pos,int df,bool limit1,bool limit2)
{
if(pos>=n)return df>1000;//大于基准表示S(A)>S(B),累加
if(dp[pos][df][limit1][limit2]!=-1)return dp[pos][df][limit1][limit2];
int x=limit1?(a[pos]-'0'):9,ans=0;
for(int i=0;i<=x;i++)
{
int y=limit2?i:9;
for(int j=0;j<=y;j++)
ans=(ans+dfs(pos+1,df+j-i,limit1&(i==x),limit2&(j==y)))%mod;
}
return dp[pos][df][limit1][limit2]=ans;//记忆化
}
int main()
{
scanf("%s",a);n=strlen(a);memset(dp,-1,sizeof(dp));
printf("%d",dfs(0,1000,1,1));//基准为1000
return 0;
}