Binary Vector

题目描述：

设 $A$ $=$ $\{$ $0,1$ $\}$ ，每天 $Roundgod$ 从 $A^n$ $($ 即维度为n，每一位由01组成的所有向量的集合 $)$ 中随机选择一个二进制向量。现在他想知道n天中选取n个线性独立向量的概率。请告诉 $Roundgod$ 每个排列的答案，用 $P⋅Q^{-1}$ $($ $mod$ $10^9+7$ $)$ 表示。其中 $Q^{-1}$ 是 $Q$ 模 $10^9+7$ 的乘法逆元。
设 $f_n$ 表示 $n$ 的答案，最后输出 $f_1$ $\oplus$ $f_2$ $\oplus$ $...$ $\oplus$ $f_n$ ， $\oplus$ 表示异或。
线性独立介绍
对于问题 $B$ ， $A^n$ 是仅包含 $0$ 和 $1$ 的 $n$ 维向量

输入描述：

输入包含多个测试用例。输入的第一行包含一个整数 $T$ $($ $1$ $\le$ $T$ $\le$ $1000$ $)$ ，表示测试用例的数量。在接下来的 $T$ 行中，每行包含一个整数 $N$ $($ $1$ $\le$ $N$ $\le$ $2*10^7$ $)$ ，描述一个测试用例。

输出描述：

对于每个测试用例，输出一个整数来表示答案。

样例输入：

样例输出：

500000004
194473671
861464136

说明：

f(1)=1/2
f(2)=3/8
f(3)=21/64

思路：

~~暴力出奇迹，打表出省一~~
打表。
打 $2e7$ 的表。
首先讲一下线性独立，就是说：任意一个向量都不能通过其他向量加减得到，也就是所有的向量都不共面
考虑选取 $i$ 个向量，对于 $i$ ，有 $2^i$ 个向量是不与选择的向量独立
那么在一个 $n$ 维的空间内，选取 $i$ 个向量共面的概率是 $\frac{2^i}{2^n}$

那么 $n$ 维的空间内，选取 $i$ 个向量线性独立的概率就是 $\frac{2^n-2^i}{2^n}$

所以：
$f_n=$ $\mathop{\prod}\limits_{i=0}^{n-1}$ $\frac{2^n-2^i}{2^n}$
$=$ $\mathop{\prod}\limits_{i=0}^{n-1}$ $\frac{2^{n-i}-1}{2^{n-i}}$
$=$ $\mathop{\prod}\limits_{i=0}^{n-1}$ $\frac{2^i-1}{2^i}$
这样我们就可以打表了。

AC Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e7+5;
const int mod=1e9+7;
int T,n,mul[MAXN],inv[MAXN],ans[MAXN],x;
int ksm(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) r=1ll*r*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int main()
{
    mul[0]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        mul[i]=2ll*mul[i-1]%mod;
    inv[MAXN]=ksm(mul[MAXN],mod-2);
    for(int i=MAXN-1;i;i--)
        inv[i]=2ll*inv[i+1]%mod;
    ans[1]=x=inv[1];
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        x=1ll*x*(mul[i]-1)%mod*inv[i]%mod;
        ans[i]=ans[i-1]^x;
    }
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
}

2020牛客暑期多校训练营第六场Binary Vector