2020牛客暑期多校训练营（第六场）[B] Binary Vector

场上没过非常可惜，读题时间太久

随机取n个n维01向量，求这n个向量线性无关的概率f_n，输出f₁^f₂^...f_n

题解：首先，n维01向量共有2ⁿ种，0向量与任何向量线性相关，则第一次取有2ⁿ-1种取法，概率为（2ⁿ-1)/(2ⁿ）第二次取要去掉0向量和第一次的向量，共2ⁿ-2种取法，第三次取去掉0向量、第1次和第2次取的向量能够组合的所有向量，共2ⁿ-4种取法，以此类推。

可以推出f_n=[(2ⁿ-1)/2ⁿ]*f_n-1=[1-1/2ⁿ]*f_n-1

考虑到1/2的逆元inv2=5e⁸+4，则1/2ⁿ=（1/2^n-1）*inv2。则可以O（n）做出。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring> 
 5 #include<queue>
 6 using namespace std;
 7 #define ll long long
 8 ll const mod=1e9+7;
 9 ll const inv2=5e8+4;
10 int const N=2e7+5;
11 ll f[N];
12 int main(){
13    f[1]=inv2;
14    ll temp=inv2;
15   for (int i=2;i<N;i++){
16       temp=(temp*inv2)%mod;
17     f[i]=(f[i-1]*(1+mod-temp))%mod;
18   }
19    for (int i=2;i<N;i++)
20     f[i]=f[i-1]^f[i];
21    int t;
22    scanf("%d",&t);
23    while (t--){
24      int n;
25      scanf("%d",&n);
26      printf("%lld\n",f[n]);
27    }
28 return 0;
29 }