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如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度、频率（超详细 含推导过程）
为知道这个答案查了很多资料，总结一下。
注：本文代码的头文件等如下
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 显示负号
一. 打颗栗子
我们设
| 采样频率为Fs | 信号最高频率为F | 采样点数为N |
|---|
并且有如下波形的一个信号。该信号由频率分量为0Hz，200Hz，400Hz和600Hz的四个标准正弦函数组成。
对应完整代码
# 采样点选择1400个，因为设置的信号频率分量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，
# 所以这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点）
N = 1400 # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N) # 将0到1平分成1400份
# 设置需要采样的信号，频率分量有0，200，400和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10 # 构造一个演示用的组合信号
plt.plot(x, y)
plt.title('原始波形')
plt.show()
可以看出，在这个例子中
| 采样频率Fs | 信号最高频率F | 采样点数N |
|---|---|---|
| 1400Hz | 600Hz | 1400个 |
于是，在快速傅里叶变换(FFT)之后，我们将得到得到N个复数。每一个复数值包含着一个特定频率的信息。根据这N个复数，可以知道拆分原始信号得到的各个频率和他们的幅度值。
对应代码
fft_y = fft(y) # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组
二. 求幅度
1. 快速傅里叶变换
根据快速傅里叶变换后得到的数据，可以画出下面这个不是很规则的图。
（这里先把精力集中在纵轴，横轴将在下一节讲解。）
对应完整代码如下
N = 1400 # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N) # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10 # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y) # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组
x = np.arange(N) # 频率个数 （x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）
plt.plot(x, fft_y, 'black')
plt.title('双边振幅谱(未求振幅绝对值)', fontsize=9, color='black')
plt.show()
2. 求出复数的绝对值
用复数直接画出的图不是我们需要的。应先求出全部N个复数的绝对值（模长）
abs_y = np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模
据此可画出下图
3. 归一化
上图中，左侧第一个值，是 从原始信号中提取出来的0Hz对应的信号强度（信号振幅），又称 直流分量。它对应的信号振幅为 当前值/FFT的采样点数N，即
0Hz对应振幅 = 当前值 / 采样点数N
注：
- 本例中，直流分量对应振幅 = 14000 / 1400 = 10
- 当前值为根据当前复数求出的绝对值（模长）
直流分量以外的分量所对应的信号振幅为 当前值/（采样点数N/2），即
其余频率对应的振幅 = 当前值 /（采样点数N / 2）
注：
- 本例中，200Hz对应振幅 = 5000 / (1400 / 2) ≈ 7.14（这里的5000是看图得到的估计值，只是为了举例，不一定准确），其余频率对应振幅算法相同。
于是，在归一化后，我们得到下图
对应完整代码
N = 1400 # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N) # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10 # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y) # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组
x = np.arange(N) # 频率个数（x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）
abs_y = np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模
normalization_y = abs_y / (N / 2) # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2
plt.plot(x, abs_y, 'r')
plt.title('双边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='red')
plt.show()
小结
| 直流分量(0Hz)振幅 | 其余频率振幅 |
|---|---|
| fft得到的复数的绝对值 / N | fft得到的复数的绝对值 / (N / 2) |
三. 求频率
这里先放上一段文字，这段话较为形象的解释了求频率的方法。
举个例子，你有一个最高频率f = 32kHz的模拟信号，采样频率 64kHz，对这个信号做一个16个点的FFT分析，采样点下标 n 的范围是0, 1, 2, 3, …, 15。那么64kHz的模拟频率被分成了16份，每一份是4kHz，这个4kHz被称为频率分辨率。
所以，频率图的横坐标中：
n=1 对应的f是4kHz
n=2 对应的f是8kHz
…
n=15 对应的f是60kHz
而频谱是关于n=8对称的，只需关心n = 0 ~ 7的频谱就足够了。因为，原信号的最高频率是32kHz。
（本段改编自参考资料1）
1. 频率公式
因此，在知道了采样频率Fs后，快速傅里叶变换(FFT)后的第x个（x从0开始）复数值对应的实际频率为
f(x) = x * (Fs / n)
于是，在这个例子中，
第0个点的频率 f(0) = 0 * (1400 / 1400) = 0
第1个点的频率 f(0) = 1 * (1400 / 1400) = 1
第2个点的频率 f(0) = 2 * (1400 / 1400) = 2
…
第200个点的频率 f(200) = 200 * (1400 / 1400) = 200
…
第1400个点的频率 f(200) = 1400 * (1400 / 1400) = 1400
（这里由于设置得很巧合，第x个点对应的频率恰好就是x）
现在便知，x轴坐标值为何如此设定。
2. 删去重复值
而只有0 ~ N/2 这一半的频率是有效的，另一半与这一半对称。去重后，我们便得到下图
对应完整代码：
N = 1400 # 设置1400个采样点
x = np.linspace(0, 1, N) # 将0到1平分成1400份
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10 # 构造一个演示用的组合信号
fft_y = fft(y) # 使用快速傅里叶变换，得到的fft_y是长度为N的复数数组
x = np.arange(N) # 频率个数（x的取值涉及到横轴的设置，这里暂时忽略，在第二节求频率时讲解）
half_x = x[range(int(N / 2))] # 取一半区间
abs_y = np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模
normalization_y = abs_y / (N / 2) # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))] # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）
plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')
plt.title('单边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='blue')
plt.show()
小结
FFT后得到的n个复数值中，第x个（x从0开始）复数值对应的频率f(x)为
f(x) = x * (Fs / n)
附录：完整代码
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 显示负号
# 采样点选择1400个，因为设置的信号频率分量最高为600赫兹，根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍，
# 所以这里设置采样频率为1400赫兹（即一秒内有1400个采样点，一样意思的）
N = 1400
x = np.linspace(0, 1, N)
# 设置需要采样的信号，频率分量有0，200，400和600
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * x) + 5 * np.sin(
2 * np.pi * 400 * x) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x) + 10
fft_y = fft(y) # 快速傅里叶变换
x = np.arange(N) # 频率个数
half_x = x[range(int(N / 2))] # 取一半区间
angle_y = np.angle(fft_y) # 取复数的角度
abs_y = np.abs(fft_y) # 取复数的绝对值，即复数的模(双边频谱)
normalization_y = abs_y / (N / 2) # 归一化处理（双边频谱）
normalization_y[0] /= 2 # 归一化处理（双边频谱）
normalization_half_y = normalization_y[range(int(N / 2))] # 由于对称性，只取一半区间（单边频谱）
plt.subplot(231)
plt.plot(x, y)
plt.title('原始波形')
plt.subplot(232)
plt.plot(x, fft_y, 'black')
plt.title('双边振幅谱(未求振幅绝对值)', fontsize=9, color='black')
plt.subplot(233)
plt.plot(x, abs_y, 'r')
plt.title('双边振幅谱(未归一化)', fontsize=9, color='red')
plt.subplot(234)
plt.plot(x, angle_y, 'violet')
plt.title('双边相位谱(未归一化)', fontsize=9, color='violet')
plt.subplot(235)
plt.plot(x, normalization_y, 'g')
plt.title('双边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='green')
plt.subplot(236)
plt.plot(half_x, normalization_half_y, 'blue')
plt.title('单边振幅谱(归一化)', fontsize=9, color='blue')
plt.show()
附录：推导过程
参考资料：