力扣-96不同的二叉搜索树(dp)

力扣-96不同的二叉搜索树

1、题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

2、分析

1. 题目。求得是有多少种不同的二叉搜索树

2. 方法。在二叉搜索树中，可以看出，每一部分其实都可以看出存在两个或者一个节点的简单二叉搜索树，所以，这题可以根据动态规划来进行设计求解。

   1个节点-->1种
   2个节点-->2种
   3个节点-->5种
   
   以2个节点来看，分别有2种情况：
   1、以1节点为头结点，此时左侧0，右侧1个节点
   2、以2节点为头结点，此时左侧1，右侧0
   故可以得出dp[2] = dp[0]*dp[1] + dp[1]*dp[0]
   
   我们以3个节点来看，分别有三种情况：
   1、以1节点为头结点,此时左侧0，右侧2个节点
   2、以2节点为头结点，此时左侧1，右侧1
   3、以3节点为头结点，此时左侧2，右侧0
   可以看出，这个是一个dp[0]*dp[2] + dp[1]*dp[1] + dp[2]*dp[0]的一个过程
   
   故可得我们的状态方程：dp[i] = dp[j-1]*dp[i-j]
   

3. 初始值。由于我们使用了dp[0]，根据dp[1]和dp[2]的值关系，我们可设定dp[0]值为1。

4. 遍历。求n个节点的不同形状的搜索二叉树，我们采用的是动态规划，所以我们需要遍历1-n的所有子模块，在这个过程中，左右侧的数量在进行变化，所以很明显，我们还需要加一层遍历，进行值累加。

5. 推敲代码书写。

3、代码及注释

class Solution {
    
    
    public int numTrees(int n) {
    
    
        // 1.dp[i] 表示的是有i个节点时，亦或者当i这个节点为头结点的时候，总共的不同排列情况
        // 2.当选定i节点为头结点的时候，即子模块可分为左侧和右侧，两侧的排列方法也不一样，故选择乘积
        // 3.需要使用子模块，即采用动态规划进行求解，遍历1-n这个过程的子模块，左侧和右侧的数量在区间变化，故还需要一层循环进行调节，每一部分左侧右侧方式改变后可得新的值，所以应该是累加起来的dp[i]
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++){
    
    
            for (int j = 1; j <= i; j++){
    
    
                // 4.左侧*右侧，例如i=3时，左侧最小为dp[0]，最大为dp[2]，然后每种左右侧情况进行值相乘后进行累加到当前dp[i]
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
}

4、练习

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/submissions/