「力扣」第 96 题：不同的二叉搜索树

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方法一：动态规划

这里 j 表示左子树的元素个数，最小是 0 ，最大是 i - 1。

注意：这里 $0$ 个结点构成的子树的个数为 $1$，这个值是我们需要的，因此需要多开 $1$ 个空间。

Java 代码：

public class Solution {
    
    

    public int numTrees(int n) {
    
    
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 想清楚这个值很关键
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
            // 这里 j 表示左子树的元素个数，最小是 0 ，最大是 i - 1
            // 左边子树 + 右边子树 = i - 1
            // i - j - 1 表示的是右边子树元素个数
            for (int j = 0; j < i; j++) {
    
    
                // 使用 * 是因为乘法计数原理
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        if n == 0 or n == 1:
            return 1
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
        return dp[n]

（另一种写法）

Python 代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        # 因为需要 0 ，所以多开 1 个空间
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1

        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]

        return dp[n]

方法二：动态规划的优化

Java 代码：

public class Solution {
    
    

    public int numTrees(int n) {
    
    
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 乘法因子的单位是 1
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
    
    
            for (int j = 0; j < i / 2; j++) {
    
    
                dp[i] += 2 * (dp[j] * dp[i - j - 1]);
            }
            if ((i & 1) == 1) {
    
    
                dp[i] += dp[i / 2] * dp[i / 2];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        # 因为需要 0 ，所以多开 1 个空间
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1

        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(i // 2):
                dp[i] += 2 * (dp[j] * dp[i - j - 1])
            if i & 1:
                # 如果是奇数
                dp[i] += dp[i // 2] * dp[i // 2]

        return dp[n]