【树】96. 不同的二叉搜索树

题目：

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

解法：

方法一：

用动态规划来解决这个问题。对于任意节点i(1<=i<=n)，则有f(n) += f(i-1) * f(n - i)。

把上面的例子的顺序更改下，就可以看到规律了。

 比如，以1为根的树有几个，完全取决于有两个元素的子树有几种。同理，以2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

 定义num[i]为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，则有：

    如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，num[0] = 1；

    如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点，num[1] = 1；

    如果数组有两个元素{1, 2}，那么有如下两种可能：
    
    num[2] = num[0] * num[1] （1为根的情况）

                + num[1] * num[0] （2为根的情况）

    再看一遍三个元素的情况，可以发现BST的取值方式为：

    num[3] = num[0] * num[2]（1为根的情况）

                + num[1] * num[1] （2为根的情况）

                + num[2] * num[0] （3为根的情况）

    

具体代码如下所示。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int numTrees(int n) 
 4     {
 5         vector<int> num(n+1, 0);
 6         num[0] = 1;
 7         if (n > 0)
 8         {
 9             num[1] = 1;
10         }
11 
12         for (int i = 2; i < n + 1; i++)
13         {
14             for (int j = 0; j < i; j++)
15             {
16                 num[i] += num[j]*num[i-j-1];
17             }
18         }
19         
20         return num[n];
21     }
22 };

方法二：

 具体代码如下所示：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int numTrees(int n) 
 4     {
 5        long c = 1;
 6        for (int i = 2; i <= n; i++)
 7        {
 8            c = 2 * (2 * i - 1) * c / (i+1);
 9        }
10        
11         return c;
12     }
13 };