Leetcode 96. 不同的二叉搜索树(Python3)

96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

---

class Solution:
    def numTrees(self, n: 'int') -> 'int':
        ''' 
        动态规划
        假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)
        为以i为根的二叉搜索树的个数

        即有: G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)

        n为根节点，当i为根节点时，其左子树节点个数为[1, 2, 3, ..., i - 1]，右子树节点个数为[i + 1, i + 2, ...
        n]，所以当i为根节点时，其左子树节点个数为i - 1
        个，右子树节点为n - i，即f(i) = G(i - 1) * G(n - i),

        上面两式可得: G(n) = G(0) * G(n - 1) + G(1) * (n - 2) + ... + G(n - 1) * G(0)
        '''

        dp = [0] * (n+1)
        dp[0],dp[1] = 1,1
        #状态转移公式：dp(n) = dp(0)*dp(n-1)+dp(1)*dp(n-2)+...+dp(n-1)*dp(0)
        for i in range(2,n+1):
            for j in range(i):
                dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]
        return dp[n]