LeetCode刷题笔记 96. 不同的二叉搜索树

题目要求

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题解

https://github.com/soulmachine/leetcode

如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

比如，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 1个元素的树，右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1, 2, 3, …, n 时，基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性：以 i 为根节点的树，其左
子树由 [1, i-1] 构成，其右子树由 [i+1, n] 构成。
定义 f(i) 为以 [1, i] 能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目，则
如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f(0) = 1。
如果数组仅有一个元素 1，只有一种 BST，单个节点，f(1) = 1。
如果数组有两个元素 1,2，那么有如下两种可能


再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：

所以，由此观察，可以得出 f 的递推公式为

至此，问题划归为一维动态规划。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n+1,0);
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        for(int i=2;i<n+1;++i){
            for(int k=1;k<=i;k++){
                f[i]+=f[k-1]*f[i-k];
            }
        }
        return f[n];
    }
};

公式法

作者：jerry-peng
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/xi-xiang-yi-xia-huan-shi-hen-jian-dan-de-by-jerry-/

明安图数，这就放着看看吧，等万一哪天可能遇到了再来考古。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long c = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            c = c * 2 * (2 * i  + 1) /(i + 2);
        return c;
    }
};