力扣刷题笔记：96.不同的二叉搜索树（动态规划，详细图解，必能看懂）

题目：

96、不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

题解思路：

1、思路
如果整数 1 ~ n 中的 k 作为根节点值，则 1 ~ k-1 会去构建左子树，k+1 ~ n 会去构建右子树。
左子树出来的形态有 a 种，右子树出来的形态有 b 种，则整个树的形态有 a∗b 种。
以 k 为根节点的 BST 种类数 = 左子树 BST 种类数 * 右子树 BSTBST 种类数。

问题变成：不同的 kk 之下，等号右边的乘积，进行累加。

2、定义 DP 子问题

（1）用 2、3 构建，和用 1、2 构建，出来的种类数是一样的，因为参与构建的个数一样。
（2）再比如 2，3，4 和 1，2，3 都是连着的三个数，构建出的 BST 的种类数相同，属于重复的子问题。
（3）定义 dp[i]：用连着的 i 个数，所构建出的 BST 种类数。

3、状态转移方程：

用 i 个节点构建 BST，除去根节点，剩 i-1 个节点构建左、右子树，左子树分配 0 个，则右子树分配到 i−1 个……以此类推。

左子树用掉 j 个，则右子树用掉 i-j-1 个，能构建出 dp[j] * dp[i-j-1] 种不同的BST。

4、基础条件
当 n = 0 时，没有数字，只能形成一种 BST ：空树。
当 n = 1 时，只有一个数字，只能形成一种 BST ：单个节点。

时间复杂度 O(n^2)：有 n 个状态需要计算，计算每个状态又需要 O(n)。

题解python代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        G = [0]*(n+1)
        G[0], G[1] = 1, 1

        for i in range(2, n+1):
            for j in range(i):
                G[i] += G[j] * G[i-j-1]

        return G[n]

作者：xiao_ben_zhu
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/shou-hua-tu-jie-san-chong-xie-fa-dp-di-gui-ji-yi-h/
来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

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