北京大学OpenJudge 2757:最长上升子序列

2757:最长上升子序列

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2000ms

内存限制:

65536kB

描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

来源

翻译自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比赛试题

思路：

1.找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是子问题，但这样分解子问题，不具有无后效性。（当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没
有关系。），因此不能这样分解子问题，应当分解为：求以ak（k=1,2,3,....N）为终点的最长上升子序列，那么只要这n个子问题解决了，那么这N个子问题的解中最大的那个就是问题的解。

2.确定状态：子问题只与数字的位置有关系，因此数字的位置k就是“状态”，而状态k对应的值，就是以ak作为终点的最长上升子序列的长度。

3.找出状态转移方程：

maxLen（k）表示以ak为“终点”的最长上升子序列的长度那么：

初始状态：maxLen(1)=1

maxLen(k)=max{maxLen(i):1<=i<k且ai<ak且k≠1}

若找不到这样的i，maxLen（k）=1

maxLen(k)的值，就是在ak 左边，“终点”数值小于ak ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak 左边任何“终点”小于ak 的子序列，加上ak 后就能形成一个更长的上升子序列。

这样，就容易写出源代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 1010
int a[MAXN];
int maxlen[MAXN]={0};
using namespace std;
int main(){
    int n,m=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[i]>a[j])
                maxlen[i]=max(maxlen[i],maxlen[j]+1);
                m=maxlen[i]>m?maxlen[i]:m;
        }
    }
        cout<<m+1<<endl;
    return 0;
}

其实最后的输出语句也可以这样写：

cout<<*max_element(maxLen+1,maxLen+n+1);//这样写的话就代表的是找到的最大元素的位置在哪里