#期望dp#洛谷 1365 bzoj 3450 Easy

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题目

有 $n$次点击要做，成功了就是 $o$，失败了就是 $x$，分数是按 $combo$计算的，连续 $a$个 $combo$就有 $a\times a$分， $combo$就是极大的连续 $o$。有些地方 $o$或者 $x$各有 $\frac{1}{2}$的可能性，用 $?$号来表示。期望得分是多少

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分析

那么首先设 $f[n]$表示到 $n$的总期望 $combo$, $g[n]$表示到 $n$的连续一段 $o$的总长度，
那么就可以得到

• $s[n]=x,f[n]=f[n-1],g[n]=0$
• $s[n]=o,f[n]=f[n-1]+2\times g[n-1]+1,g[n]=g[n-1]+1(也就是说，用之前的combo，按完全平方公式拆开，加上的就是2倍长度+1，同时期望长度也要增加一)$
• $s[n]=?,其实和o很类似，但是f[n]=f[n-1]+g[n-1]+0.5(后面两项有一半的概率)，g[n]=(g[n-1]+1)\div 2$

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代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
int n,p; double f[2],g[2];
signed main(){
	for (scanf("%d",&n);n;--n){
		rr char c=getchar(); p^=1;
		while (c!='o'&&c!='x'&&c!='?') c=getchar();
		if (c=='x') f[p]=f[p^1],g[p]=0;
		else if (c=='o') f[p]=f[p^1]+2*g[p^1]+1,g[p]=g[p^1]+1;
		else f[p]=f[p^1]+g[p^1]+0.5,g[p]=(g[p^1]+1)*0.5;
	}
	return !printf("%.4lf",f[p]);
}