线性代数（2）行列式6种运算性质

来自B站《猴博士爱讲课》，摘取行列式6种常用的运算性质

1.对角线x，其余a

$\begin{bmatrix}x&a&\cdots&a\\a&x&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&\cdots&x\end{bmatrix}=(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a]$

• 矩阵特点：n行n列，除对角线均是x外，矩阵其他数均是a
• 实例：
  对于矩阵 $\begin{bmatrix}2&3&3&3\\3&2&3&3\\3&3&2&3\\3&3&3&2\end{bmatrix}$，这里 $x=2;a=3;n=4$代入公式得 $(2-3)^{4-1}[2+(4-1)3]$,化简得-11。

2.矩阵内两行（列）等比矩阵为0

（1）矩阵内两行（列）相同或者成比例时，矩阵为0
（2）某行（列）为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减

• 实例
  对于 $\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\5&6&8\end{bmatrix}$，由于 $r_2=2r_1$，因此此矩阵为0.

3.某行（列）为两项加减的时，可拆成两个行列式加减形式

• 实例
  已知 $\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}=1$，求 $\begin{bmatrix}a_1&b_1&a_1+c_1\\a_2&b_2&a_2+c_2\\a_3&b_3&a_3+c_3\end{bmatrix}$?
  由上述行列式加减的性质，可将原式拆成两个行列式相加的形式，则原式 $\begin{bmatrix}a_1&b_1&a_1+c_1\\a_2&b_2&a_2+c_2\\a_3&b_3&a_3+c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&b_1&a_1\\a_2&b_2&a_2\\a_3&b_3&a_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}$，由于前面矩阵 $c_1=c_3$，因此为0；后面的矩阵是已知的，因此，最终结果就是1。

4.求余子式(M)、代数余子式(A)

• 余子式（M），求 $M_{xy}$就是去掉矩阵的x行y列后剩下的数重组矩阵
• 代数余子式（A）， $A_{xy}=(-1)^{x+y}*M_{xy}$
• 实例
  求矩阵 $\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\5&6&8\end{bmatrix}$ $M_{23}$和 $A_{23}$？
  去掉第2行第3列后得到新矩阵 $\begin{bmatrix}1&2\\5&6\end{bmatrix}$，求得结果为-4。
  $A_{23}=(-1)^{2+3}*M_{23}=(-1)*(-4)=4$

5.多个余子式或代数余子式加减

已知 $D=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求 $3A_{11}+2A_{12}$?
求A步骤：
1.找到 $A_{xy}$对应位置，这里是1行1列的1和1行2列的2的位置
2.将A前的系数替换到对应的位置形成新的行列式
这里，新的行列式是 $\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}$
3.求新生成行列式的值即得到最终结果
$\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}=3*4-3*2=6$
这里用直接计算A的方式验证一下：
$M_{11}=4$， $A_{11}=(-1)^{1+1}*4=4$
$M_{12}=3$， $A_{12}=(-1)^{1+2}*3=-3$
$3A_{11}+2A_{12}=3*4+2*(-3)=6$

求M步骤：
因为 $A_{xy}=(-1)^{x+y}*M_{xy}$，因此可通过该式将 $M_{xy}$转换成 $A_{xy}$，再按照求代数余子式的方法进行计算。
示例：
已知 $D=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求 $3M_{11}+2M_{12}$?
因为 $A_{11}=(-1)^{1+1}*M_{11}$,所以 $M_{11}=A_{11}$
因为 $A_{12}=(-1)^{1+2}*M_{12}$,所以 $M_{12}=-A_{12}$
所以原式 $3M_{11}+2M_{12}=3A_{11}-2A_{12}$
所以新行列式 $\begin{bmatrix}3&-2\\3&4\end{bmatrix}=3*4-(-2)*3=18$
直接代入 $M_{xy}$验证，原式 $3M_{11}+2M_{12}=3*4+2*3=18$，得到同样的结果。

6.给一个方程组，判断其解

判断 $\begin{cases}x_1+2x_2=0\\4x_1+5x_2=0\end{cases}$是否有唯一解。
判断依据：

方程组	$D\neq0$	$D=0$
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或者非零解

注：
齐次是指方程组除了带x的项和0项，没有常数项
非齐次则是方程组除了带x的项，还有常数项
零解是指方程的解是0

原式 $\begin{cases}x_1+2x_2=0\\4x_1+5x_2=0\end{cases}$没有常数项，又： $D=\begin{bmatrix}1&2\\4&5\end{bmatrix}=-3\neq0$，根据上表可知原式只有一组零解