线性代数（1）行列式运算

前言

想要深入了解机器学习的知识，就必须学好线性代数。笔者本科期间完美的错过了高数和线性代数，倒不是说没有这个课，实在是由于当时觉得数学并没有什么o用，上课全打豆豆了。既然是以前挖的坑，总归是自己要填的，因此从本篇起，将陆续介绍线性代数的基本知识，捎带手熟悉LaTex的使用。

概念

行列式是指行数等于列数的矩阵（也叫方阵）
二阶行列式即2 * 2的矩阵： $\left[\begin{matrix}1&2 \\3&4 \\\end{matrix}\right]$
三阶行列式即3 * 3的矩阵： $\left[\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\ \end{matrix}\right]$

运算

对于一个二阶行列式：
$\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]=ad-bc$
也即右对角线之积减去左对角线之积。
例如 $\left[\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right]=1*4-2*3=-2$
对于三阶以及多阶行列式：
需要经过变换使得对角线左下角数字全为0，最后的结果是对角线数字的乘积：
$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\h&i&j\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_i&b_i&c_i\\0&e_i&f_i\\0&0&j_i\end{bmatrix}=a_i*e_i*j_i$
如何变换才能得到左下角全为0的矩阵呢，这就需要知道行列式的一些的性质

运算性质：

• （1）某行（列）加上（减去）另外一行（列）的n倍，矩阵不变
• （2）某行（列）乘k,等于k乘此行列式
• （3）互换2行（列），行列式变号

例1.
对于矩阵 $\begin{bmatrix}1&0&2\\2&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$
先 $r_2-2r_1$，其他行不变，即 $\begin{bmatrix}1&0&2\\2-2*1&1-2*0&1-2*2\\1&1&1\end{bmatrix}$得到 $\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-3\\1&1&1\end{bmatrix}$
然后 $r_3-r_1$即 $\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-3\\1-1&1-0&1-2\end{bmatrix}$得到 $\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-3\\0&1&-1\end{bmatrix}$
再 $r_3-r_2$即 $\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-3\\0-0&1-1&-1-(-3)\end{bmatrix}$
最终得到 $\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-3\\0&0&2\end{bmatrix}$
对角线乘积为 $1*1*2=2$

例2.
已知矩阵 $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=-2$，求 $\begin{bmatrix}2&4\\3&4\end{bmatrix}$?
待求解的行列式第一行是已知矩阵第一行的2倍，其他行与已知矩阵也一样，由性质2可知： $\begin{bmatrix}2&4\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1*2&2*2\\3&4\end{bmatrix}=2*\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=2*(-2)=-4$，
同样我们也可由对角线原理求得
$\begin{bmatrix}2&4\\3&4\end{bmatrix}=2*4-4*3=-4$，
得到一样的结果。

例3.已知矩阵 $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=-2$，求 $\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}$？
待求解的矩阵与已知矩阵相比，仅仅只是 $r_1$与 $r_2$互换，因此根据性质3，可得
$\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}=-1*\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=2$
同样我们也可由对角线原理求得
$\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}=3*2-4*1=2$
得到同样的结果。