1、在自然推理系统F中,构造下面推理的证明
不存在能表示成分数的无理数,有理数都能表示成分数。因此,有理数都不是无理数。
个体域为实数集合。
令
F(x):x是无理数
G(x):x是有理数
H(x):x能表示成分数
命题符号化:
不存在能表示成分数的无理数:
¬∃x(H(x)∧F(x))
有理数都能表示成分数:
∀x(G(x)→H(x))
有理数都不是无理数:
∀x(G(x)→¬F(x))
证明:
(1)
¬∃x(H(x)∧F(x))
(2)
∀x(¬H(x)∨¬F(x)) 量词转换、摩根律
(3)
¬H(a)∨¬F(a) 去掉全称量词
(4)
H(a)→¬F(a)
(5)
∀x(G(x)→H(x))
(6)
G(a)→H(a)) 去掉全称量词
(7)
G(a)→¬F(a) (4)与(6)
(8)
∀x(G(x)→¬F(x)) 添加全称量词
2、在自然推理系统中,构造下面推理的证明
任何自然数都是整数;存在着自然数。所以存在着整数。
令:
F(x):x是自然数
G(x):x是整数
前提:
∀x(F(x)→G(x)),
∃x(F(x))
结论:
∃xG(x)
证明:
(1)
∃x(F(x)) 前提引入
(2)
F(a) 去存在量词
(3)
∀x(F(x)→G(x)) 前提引入
(4)
F(a)→G(a) 去全称量词
(5)
G(a) (2)(4)假言推理
(6)
∃xG(x) 添加全称量词
3、如果你给我发了一封电子邮件,那么我将完成程序的编写。如果你没有给我发电子邮件,那么我会早点睡觉。如果我早点入睡, 然后我会醒来感觉神清气爽。结论:如果我没有完成程序的编写,那么我会觉得神清气爽
令:
p:你给我发了一封电子邮件
q:我将完成程序的编写
r:我会早点睡觉
s:我会神清气爽
前提:
p→q
¬p→r
r→s
结论:
¬q→s
证明:
1、
¬p→r |
前提引入 |
2、
p∨r |
1的蕴涵等值式 |
3、
p→q |
前提引入 |
4、
r→s |
前提引入 |
5、
q∨s |
3、4、5的构造性二难 |
6、
¬q→s |
5的蕴涵等值式 |