PAT乙级(Basic Level)练习题 分解因数

题目描述
所谓因子分解，就是把给定的正整数a，分解成若干个素数的乘积，即 a = a1 × a2 × a3 × … × an,并且 1 < a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an。其中a1、a2、…、an均为素数。
先给出一个整数a，请输出分解后的因子。

输入描述:
输入包含多组数据，每组数据包含一个正整数a（2≤a≤1000000）。

输出描述:
对应每组数据，以“a = a1 * a2 * a3…”的形式输出因式分解后的结果。

输入例子:

10
18

输出例子:

10 = 2 * 5
18 = 2 * 3 * 3

$\color{blue}解题思路：$
这一题我一开始的思路是先搞一个表存储1-1000000的素数，然后从小到大进行穷举因数，应该也有不少道友也会这样想。
但是这里有一个潜在的数学规律，假设a合数，并且a == b * c，其中b、c中必定有一个 ≤ sqrt(a)，不可能出现b、c同时大于a。
因此我们搜索的范围缩小为[2, sqrt(a)]。

还有一点，当我们把a的所有2因数都分解出来后，2的倍数（4、6、8...）都不可能再分解出来，比如100分解出2 x 2后，无法再分出2的倍数，同样分解出所有3因数后，则无法再分出3的倍数…

总结一下就是，在[2, sqrt(a)]区间从小到大逐渐试探的时候，碰到一个分解的因数时a，就一直分解a，直到不能再分解a，此时也不可能再分解出a的倍数。
假设a是素数，则a的倍数（必定是合数）都被排除了试探，但是你如何保证a就一定不是合数呢？也就是我们会担心分解出一个合数a怎么办。

再回到我们得试探方法------ $\color{red}在`[2, sqrt(a)]`区间从小到大逐渐试探$

首先试探了2（素数），2的倍数被排除了，之后试探2的倍数绝对不会成功
接着试探了3（素数），3的倍数被排除了，之后试探3的倍数绝对不会成功
（不成功）试探4（2的倍数），如果此时还能整除4，那就能试探2了，自相矛盾。。。
试探了5（素数），5的本书被排除了，之后试探5的倍数绝对不会成功
....
依次类推，当我们在试探较小的素数时，已经排除了对应的倍数，
最终导致我们试探出的都是素数！！！

$\color{red}如果你实在想不通，请手动在纸上模拟`筛选法`找素数的过程！$

有一种找素数的方法称为筛选法，比如让你找[1,100]之间的素数。
你只要在[2,100]区间从小到大开始，拿到一个素数，就筛掉它的所有倍数。
比如拿了2（素数），筛选掉2的所有倍数，然后拿3（素数），筛选掉3的所有倍数，以此类推，最后你拿出的就是[1,100]之间的所有素数。

$\color{blue}代码实现：$

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int number = 0;
    //scanf返回值为正确输入数据的变量个数，当一个变量都没有成功获取数据时，此时返回-1
    while (scanf("%d", &number) != - 1) {
        printf("%d = ", number);
        //只需要从[2, sqrt(number)]试探即可
        int maxEle = sqrt(number);
        for (int i = 2; i <= maxEle; ++i) {
        	//如果能分解出i，则一直分解出i，直到不能再分解，这样可以避免分解出i的倍数（i的倍数一定是合数）
            while (number % i == 0) {
                if (i == number) {
                	//最后一个数之后不能输出*了，需要单独输出
                	//注意输出格式： 10 = 2 * 5
                    break;
                }
                printf("%d * ", i);
                number /= i;
            }
        }
        printf("%d\n", number);
    }
    return 0;
}