离散时间信号处理/Week1_Appendix

离散时间信号处理/Week1_Appendix

教材：Oppenheim离散时间信号处理（第三版） 课程：MITx 6.341x（来源于edX）

edX学习资料地址：https://courses.edx.org/courses/course-v1:MITx+6.341x_2+2T2016/course/

第一周课程所需储备知识整理如下

CH2 离散时间信号与系统

2.6 离散时间信号与系统的频域表示

• LTI系统频率响应的概念对连续时间系统和离散时间系统基本上是相同的。一个重要的不同点是离散时间LTI系统的频率响应总是频率$\omega$的周期函数，且周期为$2\pi$，即$$H(e^{j(\omega +2\pi )})=H(e^{j\omega })，对所有\omega$$因为$H(e^{j\omega })$以$2\pi$为周期，并且频率$\omega$和$\omega +2\pi$又不能区分开，因此只需要在长为$2\pi$区间内，即$0\le \omega \le 2\pi$或$-\pi <\omega \le \pi$内标出$H(e^{j\omega })$就够了。简单起见并与连续时间情况一致，一般在区间$-\pi <\omega \le \pi$内给出$H(e^{j\omega })$的特性。相对于此区间，“低频”就在靠近于零处的频率，“高频”在靠近于“$\pm \pi$”的频率。
• 滑动平均系统的频率响应中，$|H(e^{j\omega })|$在高频跌落，而$\angle H(e^{j\omega })$，即$H(e^{j\omega })$的相位，随$\omega$线性变化。高频衰减表示系统对输入序列中的快速变化起到平滑作用。
• 稳态响应与暂态响应（存疑）
• 稳定性是频率响应函数存在的充分条件

2.7 用傅里叶变换表示序列

综合公式（傅里叶逆变换）：$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$
分析公式（傅里叶变换）:$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$确定哪一类信号可以用综合公式来表示的问题就等效于考虑分析公式中无限项和的收敛问题，也就是分析公式的求和中各项必须满足什么条件，才使得$$|X(e^{j\omega })|<\infty ，对所有\omega$$

• 可证明：若$x[n]$是绝对可加的，那么$X(e^{j\omega })$存在，且该级数一致收敛于一个$\omega$的连续函数。
• 任何稳定系统，即具有绝对可加的单位脉冲响应的系统，都有一个有限且连续的频率响应。
• 任何有限长序列都是绝对可加的，从而都有一个傅里叶变换表示，在LTI系统范围内，任何FIR系统都一定是稳定的，因此都有一个有限且连续的频率响应；然而，当一个序列属无限长时，就关心无限求和的收敛问题。

2.8 傅里叶变换的对称性质

傅里叶变换的对称性质

2.9 傅里叶变换定理

傅里叶变换定理

傅里叶变换对

2.10 离散时间随机信号

在难以或不合需要精确地描述一个信号的情况下，把信号建模成一个随机过程是有用的。一个随机信号就是一组离散时间信号的集合，它是由一组概率密度函数来表征的。

CH3 z变换

3.1 z变换

序列$x[n]$的傅里叶变换：$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$序列$x[n]$的$z$变换：$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$当傅里叶变换存在，就是令$z=e^{j\omega }$的$X(z)$，也就是对于$|z|=1,z$变换就相应于傅里叶变换，即$z$变换在单位圆上的求值对应于傅里叶变换。

• $z$变换是一个洛朗级数。一个洛朗级数（$z$变换）就代表了在收敛于内每个点上的一个解析函数，因此$z$变换及其全部导数在收敛域内也一定是$z$的连续函数。如果收敛域包括单位元年，那么傅里叶变换及其对$\omega$的全部导数一定是$\omega$的连续函数。对于傅里叶变换，该序列必须是绝对可加的，也就是一个稳定序列；对于$z$变换，要求$x[n]z^{-n}$绝对可加。

3.2 z变换收敛域的性质

暂略

3.3 z逆变换

暂略

3.4 z变换性质

暂略

3.5 z变换与LTI系统

暂略

3.6 单边z变换

暂略