【机器人学导论】惯性张量旋转和平移变换的推导

1. 前言

最近遇到了一些涉及惯性张量的实际问题，比如：

• 对两个通过铰链连接在一起的杆，如何计算整体的惯性张量？
• 对于一个由多个简单部件组合成的系统，如何计算整体的惯性张量？

在网上查找计算方法的过程中，难以通过正确的关键词找到简明的数学方法。因此我在多番查阅后，对查找到的资料做一个归纳总结，作为对《机器人学导论》书中相关章节的补充。
以下内容的符号表示将依照《机器人学导论》的命名规范。

2. 惯性张量的概念

对三维空间中的六自由度刚体而言，可能存在无穷旋转轴，对刚体而言，当其绕任意轴旋转时，我们需要一种通用的能够表征刚体质量分布的方式，因此引入惯性张量。

下面是百度百科给出的惯性张量的定义

更详细的介绍可以参见wiki Moment of inertia

为了方便起见，刚体的惯性张量的坐标系通常以刚体质心为原点，在下面的推导与证明中，我们也将遵循这一点。

3. 惯性张量的旋转变换

设有一坐标系为 { 0 } \{0\} { 0}，设有一刚体，在其上选一点建立随体坐标系 { b } \{b\} { b}，该刚体以 $\omega$ 的角速度（在 { 0 } \{0\} { 0}系下描述）相对 { 0 } \{0\} { 0}系运动。

3.1 结论

$$\begin{gathered} {}^{b}I=({}_b^0{R}^T)({}^{0}I)({}_b^{0}R) \\ {}^{0}I=({}_b^{0}R)({}^{b}I)({}_b^0{R}^T) \end{gathered}$$
（红字表示：注意上标！）

3.2 证明

刚体转动能量公式（类似于平动的动能）如下：
$$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}{\omega }^{T}I\omega \end{array}$$
其中，$T$ 表示动能，为标量。 公式$(1)$证明过程可参考： 刚体转动能量公式证明

容易理解，不管惯性张量、角速度在什么坐标系下表示，刚体转动的动能这个标量是一样的。因此有：
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}({}^0{\omega }^T)({}^{0}I)({}^0\omega )\\ T& =\frac{1}{2}({}^b{\omega }^T)({}^{b}I)({}^b\omega )\end{array}$$
$(2)$式=$(3)$式，$(3)$式中为什么标红了一部分呢？马上就会用到！

将 $(2)$ 式作如下展开：
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}({}^0{\omega }^T)({}^{0}I)({}^0\omega )\\ & =\frac{1}{2}({}_b^{0}R{}^b\omega {)}^T({}^{0}I)({}_b^{0}R{}^b\omega )\\ & =\frac{1}{2}({}^b{\omega }^T)({}_b^0{R}^T)({}^{0}I)({}_b^{0}R)({}^b\omega )\end{array}$$

$(4)-(6)$式的推导主要是：旋转矩阵变换+结合律，对比$(3)$和$(6)$式有：
$$\begin{array}{c}{}^{b}I=({}_b^0{R}^T)({}^{0}I)({}_b^{0}R)\end{array}$$

$(7)$式即为惯性张量的旋转变换公式
进一步，$(7)$式两边左乘$({}_b^{0}R)$，右乘$({}_b^0{R}^T)$，可得：
$$\begin{array}{r}{}^{0}I=({}_b^{0}R)({}^{b}I)({}_b^0{R}^T)\end{array}$$

4. 惯性张量的平移变换

设有一质量为 $m$ 的刚体，在其上选一点建立随体坐标系 { C } \{C\} { C}，已知另一坐标系 { A } \{A\} { A}与 { C } \{C\} { C}系为平移关系，且 { C } \{C\} { C}系原点在 { A } \{A\} { A}系中的位置为 $P_c$。

4.1 结论

刚体在 { A } \{A\} { A}系中的惯性张量可写为：
$${}^{A}I={}^{C}I+m(P_c^T{P}_c{I}_3-P_c{P}_c^T)$$
其中 $I_3$ 是 $3\times 3$ 的单位矩阵。

上式为《机器人学导论》的结论，与下面维基百科给出的公式一致，可以理解为平行轴定理的推广。

4.2 证明

下面是维基百科关于张量平行轴定理的介绍：

更详细的证明可以参考知网的这篇文章：惯性张量平移和旋转复合变换的一般形式及其应用

参考资料

[1] 机器人学导论（原书第四版） John J.Craig著，贠超 王超译
[2] 惯性张量平移和旋转复合变换的一般形式及其应用
[3] Parallel axis theorem