2020张宇1000题·数一·刷题记录
第一篇 高等数学
第1章 极限、连续
一、函数极限(1.1-1.46)
- 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。
- 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。
- (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。
- 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。
- 另一种方法，一次求导之后再拆分。
- 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。
\({\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}\)
故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。
而分母相加可以用直接用等价无穷小替换。 - 别想太复杂，一次求导以后直接代值。
- 积分式求导，被积分的式子里面的积分也要相应的替换。
- 用t替换1/x，再求导。
- 拆分，再求导。
- 同1.9，\((a^t-a^{-t})'=lna(a^t+a^{-t})\)。
- 方向走偏了，需要改写+通分，再求导一次即可。
- 换元法，第一个根式不用改写，但需要通分化简，再一次求导。
- 通分，\(x \to 0，1-e^{-x} \sim x \sim е^x-1\)，等价替换，再两次求导。
- 0⁰型，改写，拆分，一次求导。
- 改写，发现此题中ln里面的一坨不再是趋向于1，而是无穷，没法拆分等价替换。答案是直接硬求导，三层函数嵌套爽歪歪，然后化简。
还求不出来，继续让分子分母都保持存在函数，再次求导，结果分子是常数，分母趋向于无穷。
原式\(=\lim \limits_{x \to \infty}e^{\frac{4}{1+2x}}\)。
就这结果还真就成了最终答案，一般都会怀疑这种。。。
总结：坚定求导就对了；另外，1/∞这种情况也是可以接受的。 - 使劲求导+等价替换。
- 同1.17。
- 同上，可不用泰勒。
- 几种泰勒与等价替换。
- 换元，令t=1/x，化简原式，往(1+t)ᵅ靠，再用泰勒或求导。
- 先拆分，再换元，最后泰勒。展开原则，要保证分子每一项泰勒展开无穷小的阶数要≥分母未知数的阶数。？？？
- 直接求导的路走不通，联想e^x-1~x。等价替换成tanx-sinx后，直接一步泰勒或求两次导，或拆分再等价替换成tanx(1-cosx)。
- 拆分，等价替换，再拆分，别用求导。
- 通分后求两次导，记得化简。
- 与1.23类似，提取然后等价，再一步泰勒或两步求导。
- 等价替换后，同时求导即可。
- 分母等价替换，整个式子两次求导。
- 也是要提取，但指数的不好看，没反应过来。\(x \to 0，x^x\)与其他相乘，可以直接单独算出来，即\(0^0=1\)。
求导一次+提取+等价替换 or 拆分+等价替换。 - 直接应用三种函数的泰勒公式，但是要特别注意展开到第几项。？？？
一般以分母次数为基准，函数展开到相同次数不同系数为止。此题cosx也要展开到第三项。 - 等价替换与拆分即可。
- 改写成同一形式，再化简，拆分，最后等价替换。
\(x=e^{lnx}=lne^x\) - 拆分，往e^x-1靠，再等价替换，分母没法简化，整个式子得求导几次，最后分母能消去。
- 拆分，求一次导，化简。
- 忘了\(a^x-1 \sim xlna\)，也能直接用等价替换，极限存在，而分母又趋向于0，故分子也必定趋向于0，所以也能直接用等价替换。
- 用换元与x-arctanx的等价替换，或arctanx的泰勒，可以算出f(x)前半部分的极限，能求得x趋向于1时f(x)的值，f(x)的完整表达式就能写出来了。
- 改写，泰勒展开多两项凑到二阶无穷小，要从从指数化到多项式型，只有按eˣ型再泰勒展开。
而且要先将指数改写，提出e¹，才能跟题目中单独出现的的e对上。
再就是展开后的小于二阶的无穷小，都直接被抹去了，这一点到时有点太不符合直观。姑且作为新原则应用：更小的无穷小阶数在比他大的无穷小阶数面前不起作用。 - 同1.37，相当于要将e^(ln(1+x)/x)改写成A+Bx+Cx²+Dx³的形式，最后肯定是e^f(x)的形式，其中f(x)为多项式，就要拆成e^(常数项)*e^(f(x)-常数项)，再将后者展开。
需要用到两个函数的泰勒展开，但是注意因为分母是3次方。需要保证ln(1+x)/x跟e^f(x)都要展开至o(x³)。
实际计算的时候，只关注≦x³项的项，其他相乘后会大于x³的项不用算，因为最后有个o(x³)。
- 是一道区分度高的优秀试题，是中等难度题。。。居然只是中等难度，是解答题的话就得写清楚完整逻辑，难啊。
如果只是填空或选择题的话。分析下题目，求的是lim(x→0)f[g(x)]，但是f(x)还分了x<0与x>0两种情况，肯定是在0处的左极限等于右极限，随便求一个就好了，而且还好求^ ^。
只是不能判断x→0时，g(x)也是否也是趋向于0的，是的话就需要直接代值进去算出来了。
要分x<0与x>0，分别对g(x)的值进行计算。还需要注意到无论x取何值，e^(1/x)都是大于0的。
？？？为什么用分离计算，然后求导的方法求出来x→0时，g(x)=-∞而不是0？？？
- k≦0时，极限=-∞，排除；k>0时，(x→∞)∞-∞型通过t=1/x换元，通分后将两项合成一个式子，往0/0型或∞/∞上靠。
注意由于x不是趋向于0的，所以不能用泰勒展开，条件不符合。
难啊，想了好久才想通。
- ①通分，e^(-t²)泰勒展开到o(x⁴)项，积分就能用多项式表达出来了，消去x⁵以下的项。
②通分，求一次导数，消去积分。再将e^(-x²)泰勒展开到o(x⁴)项，消去x⁴以下的项。
③想不到要用泰勒公式的时候，笨方法也能算出来。对式子求五次导，根据x→0时极限存在且为1，能建立起abc的关系式。第二次有b+c=0，第三次有3a-c=0，第五次有c=10。 - ③提取，再求一次导即可，最快，不用像答案那么麻烦。但是要注意，是1/2-1/3=1/6！
①换元改写原式，求导或提取公因式(不一定看得出来)，代入求值。
②提取，拆分，不用泰勒，用两次等价替换。往(1+xᵅ)-1~αx上靠，然后1-cosx可以再替换。
- ①同上，拆分，往(1+xᵅ)-1~αx上靠，用等价替换最快。x→1，1-(1+x-1ᵅ)~-α(x-1)=α(1-x)。
②还是同上，或者是换元改写原式，提取公因式，分母要要分离成n-2项，最后代入求值。 - 1-cosx不是连在一起的，有可能看错直接等价替换了。
真变态，鬼知道要这么拆，用另一种通解的方法比较简单。但两种方法都不好想，记住此类套路留个印象吧。
- 若f(0)=0的话，则\(f'(0)=\frac{1}{0^2+f^2(0)}=\frac{1}{0}\)，无意义。题目默认f'(x)都是存在的，所以排除这种特殊情况了。
注意到x²与f²(x)都是>0的，联想到f'(x)?0与f(x)单调性的关系。再往题目中给出的条件f(1)=1上面靠，对f'(x)进行积分，能用到熟悉的arctanx与π/4。最后极限保号性证明收尾。
？？？为啥\(f(x)=1+\int_{1}^{x}f'(t)dt\) - 同上，简直一模一样。\(f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)dt\)