机器学习（数据分析）数学基础——线性代数篇（七）QR分解的代码实现

矩阵的分解有很多种，例如LU分解、QR分解、EVD分解、SVD分解。

        首先我们来看QR分解的定义：如果实（复）非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称其为A的QR分解。

【注1】非奇异矩阵可以理解为行列式不为0的矩阵，也就是可逆矩阵。

【注2】Q是实（复）矩阵，且满足;R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵。

然而.... 关于实际问题的求解，书中的定理并没有强制要求A是一个方阵，也就是说只要A和Q是一个m*n就行，我们来看一下具体的代码。

# 用施密特正交化方法求解QR矩阵
M = np.array([[12,9,-4],
              [7,4,5],
              [6,-3,21],
              [6,15,8],
              ], dtype=float
             )
Q = np.zeros((4,3))
j = 0
for a in M.T:
    b = np.copy(a)
    for i in range(0,j):
        b = b-np.dot(np.dot(Q[:,i].T, a),Q[:,i])
    e = b / np.linalg.norm(b)
    Q[:,j] = e
    j += 1
R = np.dot(Q.T, M)
np.set_printoptions(precision=3, suppress=True)

上面的代码是求QR四大方法之一的施密特正交化方法

1.M是已知矩阵，我们要将它分解。Q是一个空的矩阵，定义和M格式相同就OK

2.把M中的列向量按照施密特正交化方法进行正交，Q[:,i]就是取矩阵的列向量，下面的代码行是正交化公式的具体体现：

b = b-np.dot(np.dot(Q[:,i].T, a),Q[:,i])

循环就是全部走完一边。之后的代码就是单位化公式的体现，norm是我们在上一篇所学到的范数随后将其转回给Q。

3.R就是根据公式左面同时乘上Q的转置

R = np.dot(Q.T, M)

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