机器学习数学基础-线性代数-矩阵

对数的概念:
如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 

以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN。 

为了关键字,给出个题目不就可以在最后加些关键字了!2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2

矩阵:
   1. 向量概念:一个向量本质上是一个一维矩阵,即行向量(行数为1)、列向量(列数为2)
   2. 单位矩阵概念:即一个矩阵乘以单位矩阵还是原先的矩阵,因为单位矩阵是和相乘的矩阵有相同的行与列,并且对角线数字为         1,其他为0的矩阵
   3. 矩阵的行列式概念:矩阵 A=[a,b;c,d],则其行列式为ad-bc,即对角线相乘后相减
   4. 矩阵的逆概念:即矩阵 * 矩阵的逆 = 单位矩阵    A = \begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix}  ,则A的逆 = \frac{1}{ad-bc}​​​​​​   *\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & d \end{bmatrix} 

矩阵的行列式:

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:

把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij,叫做元素aij的代数余子式。例如:

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和,即 [1]  :

逆矩阵概念

我们可以这样去求逆矩阵:

  • 一、求余子式矩阵,
  • 二、转成代数余子式矩阵,
  • 三、转成伴随矩阵,
  • 四、乘以 1/行列式。

最好是用实例来解释!

例子:求 A 的逆:

矩阵 A

要做四步。全都是简单的算术,但有很多计算,所以要小心,不要犯错!

一、余子式矩阵

第一步是造一个 "余子式矩阵"。这步有最多计算。

为矩阵的每个元素:

  • 不使用在本行与本列的元素
  • 计算剩下来的值的行列式

把行列式的结果放进一个矩阵("余子式矩阵")

行列式

2×2 矩阵(2行和2列)的行列式很容易:ad-bc

想:十字乘法

  • 蓝色 代表 正 (+ad),
  • 红色 代表 负 (-bc)
  矩阵

(3×3 矩阵会比较复杂,。。。。。。)

计算

这是"余子式矩阵"的头两个和最后两个计算(留意我不使用在元素本行和本列的值,只用剩下来的值来算行列式):

余子式矩阵计算步骤

这是整个矩阵的计算程序:

余子式矩阵结果

二、代数余子式矩阵

这个容易!把"纵横交错"排列的正负号放在"余子式矩阵"上。换句话说,我们需要每隔一个格改变正负号,像这样:

元素的正负号由其坐标和决定

代数余子式矩阵

三、伴随

"转置" 以上的矩阵。。。。。。就是沿对角线对调元素的位置(在对角线上的元素不变):

伴随矩阵

四、乘以 1/行列式

求原本的矩阵的行列式。这不困难,因为在求"余子式矩阵"时我们已经计算了局部的行列式。

矩阵

所以:把顶行的每个元素乘以其"余子式"的行列式:

行列式 = 3×2 - 0×2 + 2×2 = 10

现在把伴随矩阵乘以 1/行列式:

伴随矩阵乘以 1/行列式 就是逆矩阵

大功告成!

把这答案与在 用初等行运算来求逆矩阵 里求的逆矩阵比较一下。是不是一样?你喜欢哪个方法?

较大的矩阵

求更大的矩阵的逆矩阵都是用同样的方法(例如 4×4 和 5×5等),可是,真的要做很多很多的计算!

4×4 矩阵要做 16个 3×3 行列式。所以通常是用电脑来做(例如 矩阵计算器。)

结论

  • 为每个元素,计算不在其本行或本列 的值 的行列式 来构成余子式矩阵
  • 纵横交错排列的正负号放在"余子式矩阵"上以形成代数余子式矩阵
  • 转置矩阵以成为伴随矩阵
  • 乘以 1/行列式 以成为逆矩阵

矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个可以从方形矩阵(方阵)计算出来的特别的数

矩阵是数的排列:

矩阵 
矩阵
(这矩阵有2行和2列)

这矩阵的行列式是(待会儿会解释计算方法):

3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14

用来干什么的?

行列式告诉我们矩阵的一些特性,这些特性对解线性方程组很有用,也可以帮我们找逆矩阵,并且在微积分及其他领域都很有用.

符号

行列式的符号是每边一条垂直线。

例子:

|A|代表矩阵 A的行列式

(和绝对值的符号一模一样。)

计算行列式

首先,矩阵一定要是方形矩阵(就是,行和列的数目相同)。计算方法其实很简单,只不过是基本的算术,如下:

2×2 矩阵

2×2 矩阵 (2行和2列):

矩阵

行列式是:

|A| = ad - bc
"A 的行列式等于 a 乘 d 减 b 乘 c"

把公式记住的窍门是想:十字乘法:

  • 蓝色 是 正 (+ad),
  • 红色 是 负 (-bc)
  矩阵

例子:

矩阵

|B| = 4×8 - 6×3
  = 32-18
  = 14

 

3×3 矩阵

3×3 矩阵 (3行和3列):

矩阵

行列式是:

|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
"A 的行列式等于。。。。。。"

乍看很复杂,但这是有规律的

矩阵

求 3×3 矩阵的行列式:

  • 把 a 乘以不在 a 的行或列上的 2×2 矩阵的行列式。
  • 以 b 和 c 也做相同的计算
  • 把结果加在一起,不过 b 前面有个负号!

公式是(记着两边的垂直线 || 代表 "的行列式")

矩阵
"A 的行列式等于 a 乘 。。。。。。的行列式。。。。。。"

例子:

矩阵

|C| = 6×(-2×7 - 5×8) - 1×(4×7 - 5×2) + 1×(4×8 - -2×2)
  = 6×(-54) - 1×(18) + 1×(36)
  -306

4×4 和更大的矩阵

同一规律也适用于 4×4 矩阵:

  • 加:a 乘以 不在 a 的行或列 的矩阵 的行列式,
  • 减:b 乘以 不在 b 的行或列 的矩阵 的行列式,
  • 加:c 乘以 不在 c 的行或列 的矩阵 的行列式,
  • 减:d 乘以 不在 d 的行或列 的矩阵 的行列式,

矩阵

公式是:

矩阵

留意 + - + - 的规律(+a 。。。-b 。。。+c 。。。-d 。。。)。 这很重要,要牢记。

 

同样的规律也适用于5×5 和更大的矩阵,但通常最好是用矩阵计算器来处理大的矩阵!

 

并非唯一的方法

这个计算放法叫 "拉普拉斯展开"。。。。。。我喜欢它,因为规律容易记。但亦有其他的计算方法(我只想你知道)。

总结

  • 2×2 矩阵的行列式是 ad - bc
  • 3×3 矩阵,把 a 乘以 不在 a 的行或列 的矩阵 的行列式。b 和 c 也做同样的计算,但 b 前面有个负号!
  • 更大的矩阵也跟随相同的规律: 把 a 乘以 不在 a 的行或列 的矩阵 的行列式;第一行的每个元素都这样做;然后把结果跟随 + - + - 的规律加/减起来。

复矩阵:

复矩阵,指的是元素中含有复数的矩阵

复矩阵指的是元素是复数的矩阵。实矩阵是复矩阵的特例。

例如,如下矩阵A即为复矩阵。

A= 

共轭复数概念

共轭复数,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时,共轭复数就是实部相等,虚部相反,如果虚部为零,其共轭复数就是自身(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)。复数z的共轭复数记作z(上加一横),有时也可表示为Z*。同时, 复数z(上加一横)称为复数z的复共轭(complex conjugate)。根据定义,若z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi(a,b∈R)。

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