7-12 哥尼斯堡的“七桥问题” (25 分)
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市,它包含两个岛屿及连接它们的七座桥,如下图所示。
可否走过这样的七座桥,而且每桥只走过一次?瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)最终解决了这个问题,并由此创立了拓扑学。
这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面,可画过图中每条边仅一次,且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图,问是否存在欧拉回路?
输入格式:
输入第一行给出两个正整数,分别是节点数N (1≤N≤1000)和边数M;随后的M行对应M条边,每行给出一对正整数,分别是该条边直接连通的两个节点的编号(节点从1到N编号)。
输出格式:
若欧拉回路存在则输出1,否则输出0。
输入样例1:
6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6
输出样例1:
1
输入样例2:
5 8
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
5 3
5 4
3 4
输出样例2:
0
判断是否为欧拉回路的条件:
1.是否全部连通
2.每个点的入度等于出度,每个点的度数为偶数
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1003
int cnt[MAXN];
int pre[MAXN],n,m;
int find(int x)//并查集的查找
{
if (pre[x] == x)
return x;
else
return pre[x]=find(pre[x]);
}
void merge(int x,int y)//并查集的合并
{
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if (fx!=fy)
{
pre[fy]=fx;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=i;
cnt[i]=0;
}
int x,y;
while (m--)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
merge(x,y);
cnt[x]++;
cnt[y]++;//记录点的度数
}
int count=0,flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(pre[i]==i)
count++;
}
if(count==1){//只有一个祖先,图是联通的
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(cnt[i]%2){
flag=1;
break;
}
}
if(flag) printf("0\n");//存在奇数度数,不是欧拉回路
else printf("1\n");//是联通的,且每个点的度数是偶数
}
else printf("0\n");//图压根就不是联通的
return 0;
}