拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法
青蛙的约会
- - AC代码

1. 欧几里得算法

我们先从欧几里得算法(即辗转相除算法)说起，代码如下：
递归形式

int gcd(int a, int b) {
    return !b ? gcd(b, a % b) : a;
}

迭代形式

int gcd(int a, int b) {
    int r;
    do {
        r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }while(r);
    return a;
}

2.extGCD算法

扩展欧几里得算法，顾名思义就是对欧几里得算法的扩展。

首先我们来看一个问题：

求使ax + by = 1的整数x, y, 如果 gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的。则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是 gcd(a, b) = 1, 即a, b 互质。

对于方程ax + by = gcd(a, b)；我们设解为x1, y1

我们令a = b, b = a % b;

得 → bx + a % by = gcd(b， a % b);

由欧几里得算法可以得到gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

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代入可得 → bx + a % b y = gcd(a, b)

设此方程解为 x2, y2；

在计算机中我们知道：a % b = a - (a / b) * b;

代入方程化解得 → ay2 + b(x2 - (a / b) y2) = gcd(a, b);

与ax1 + by1 = gcd(a, b) 联立,

{_{a y_{2} + b (x_{2} - (a / b) y_{2} = g c d (a, b)}^{a x_{1} + b y_{1} = g c d (a, b)}

$\{ ^{ax_{1}+by_{1}=gcd\left( a,b\right) }_{ay_{2}+b(x_{2}-\left(a/b\right) y_{2}=gcd\left( a,b\right) }$

我们很容易得

x_{1} = y_{2}, y_{1} = x_{2} - (a / b) y_{2}

$x_{1}= y_{2},y_{1} = x_{2} - (a / b)y_{2}$

然后我们就这样可以解出来了,但是别忘记了递归的终点，也就是最后方程的解x和y。

对于方程ay2 + b(x2 - (a / b) y2) = gcd(a, b);

当b = 0时，a * 1 + b * 0 = gcd(a, b)

则有

x_{2} = 1, y_{2} = 0

$x_{2} = 1, y_{2} = 0$

由此我们把ax + by = 1的其中一组解解出来了，仅仅是其中一组解。

对于已经得到的解x1, y1;我们便可以求出通解。

我们设x = x1 + kt；t为整数

带入方程解得y = y1 - a * k / b * t;

而我们要保证y也为整数的话必须保证a * k /b也为整数，我们不妨令k = b/gcd(a, b);

所以通解为：

x = x_{1} + b / g c d (a, b) * t

$x={x_{1}+b/gcd\left( a,b\right)*t }$

y = y_{1} - a / g c d (a, b) * t

$y={y_{1}-a/gcd\left( a,b\right)*t }$
其中t为整数。

exGCD代码

递归形式

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return r;
}

迭代形式

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int x1, y1, x0, y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r = a%b;
    int q = (a-r)/n;
    while(r)
    {
        x = x0-q*x1;
        y = y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        a=b; b=r; r=a%b;
        q=(a-r)/b;
    }
    return b;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

扩展欧几里得算法还可以用来解如下方程：

a x \equiv b (m o d m)

$ax\equiv b\left( mod\ m\right)$
ax = mt + b，ax - mt = b

参考资料： 博客园殇雪
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青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

AC代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll exGCD(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else {
        ll ans = exGCD(b, a%b, y, x);
        y -= (a/b)*x;
        return ans;
    }
}
int main()
{
    ll x, y, m, n, L;  // (n-m)*t + (x-y) = 0 (mod L)
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L) != EOF)
    {
        ll times = 0;
        ll a = n - m;
        ll b = L;
        ll c = x - y;
        ll r = exGCD(a, b, x, y);
        if(c % r != 0) cout << "Impossible" << endl;
        else {
            x = x*c/r;
            int t = b/r;
            if(x >= 0)
                x = x % t;
            else
                x = x%t+t;
            cout << x << endl;
        }
    }
    return 0;
}

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