PAT甲级1049 Counting Ones (30分)|C++实现

一、题目描述

原题链接
The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1’s in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1’s in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N($N\le 2^{30}$).

​​Output Specification:

For each test case, print the number of 1’s in one line.

Sample Input:

12

Sample Output:

5

二、解题思路

看到这道题目，我们第一想法可能是从1到N遍历，对于每个数去计算1的个数，但是这样计算，时间复杂度较高，会有测试点超时，所以我们要寻找一下别的解法。接下来的解法取自《编程之美》P132。

事实上，给定了N，我们可以通过分析“小于N的数在每一位上可能出现1的次数”之和来得到这个结果。显然，对于一个个位数N，如果$N\ge 1$，$f(N)=1$。对于2位数，假设$N=13$，不难发现，个位出现1的数字有两个，1和11，十位出现1的数字有四个，10、11、12和13。由于11有两个1，我们正常加起来时将11这个数计算了两次，所以不用特殊处理。

接下来我们推导一般情况下，从N得到f(N)的计算方法。假设$N=abcde$，如果要计算百位上出现1的次数，要考虑三个因素：百位的数字，百位以下的数字，百位以上的数字。如12013，百位出现1的情况：100_{199，1100~1199，2100~2199，3100~3199…，11100}11199，共有1200个，即由更高位数字决定，并且等于更高位数$\times$当前位数。若百位数字为1，则1200还要加上12100~12113共114个。当百位数字大于1时，则原来1200个还要加上12100~12199这100个，共1300个，即等于更高位数字+1再乘以当前位数。对于其他各数位都是如此，写出代码如下。

这个算法是真的非常巧妙，我这里只做了简述，建议去找原书进行阅读，真的会有一种醍醐灌顶的感觉。

三、AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    
    
  int N, cnt = 0, a = 1;
  scanf("%d", &N);
  while(N/a)
  {
    
    
    int now = (N/a)%10, left = N/a/10, right = N%a;
    if(now == 0)	cnt += left*a;
    else if(now == 1)	cnt += left*a + right + 1;
   	else	cnt += (left+1)*a;
    a *= 10;
  }
  printf("%d", cnt);
  return 0;
}