OpenJ_Bailian 4103 踩方格（搜索 动态规划 ）

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描述

有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：
a.    每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；
b.    走过的格子立即塌陷无法再走第二次；
c.    只能向北、东、西三个方向走；
请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

输入

允许在方格上行走的步数n(n <= 20)

输出

计算出的方案数量

样例输入

2

样例输出

7



解题思路：

　　　1.递归：从 (i,j) 出发，走n步的方案数，等于以下三项之和：

　　  　　 从(i+1,j)出发，走n-1步的方案数。前提：(i+1,j)还没走过

   　　　　从(i,j+1)出发，走n-1步的方案数。前提：(i,j+1)还没走过

   　　　　从(i,j-1)出发，走n-1步的方案数。前提：(i,j-1)还没走过

　　 　　  逐层往下搜。

　　　　或者用状态转移：

　　　　要是最后一步是向左走，则前一步不能为向右走      l[i]=l[i-1]+u[i-1]

　　　　要是最后一步是向右走，则前一步不能为向左走 　 r[i]=r[i-1]+u[i-1]

　　　　要是最后一步是向上走，则前一步是什么无影响　  u[i]=l[i-1]+r[i-1]+u[i-1]   

              可得公式：f[i]=l[i]+r[i]+u[i]
    　　　　　　　   　=2*l[i-1]+2*r[i-1]+3*u[i-1]
    　　　　　　   　　=2*f[i-1]+u[i-1]
   　　　　　　 　　   =2*f[i-1]+f[i-2]

#include<cstdio>
int vis[30][30]= {0};
int ways(int x,int y,int n)
{
    if (n==0)
        return 1;
    vis[x][y]=1;
    int num=0;
    if (!vis[x][y-1]) num+=ways(x,y-1,n-1);
    if (!vis[x][y+1]) num+=ways(x,y+1,n-1);
    if (!vis[x+1][y]) num+=ways(x+1,y,n-1);
    vis[x][y]=0;
    return num;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",ways(0,22,n));
    return 0;
}

递归搜索

#include<cstdio>
int l[25],r[25],u[25];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    l[1]=r[1]=u[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
        l[i]=l[i-1]+u[i-1];
        r[i]=r[i-1]+u[i-1];
        u[i]=l[i-1]+r[i-1]+u[i-1];
    }
    printf("%d\n",l[n]+u[n]+r[n]);
    return 0;
}

DP

#include<stdio.h>
int f[22];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    f[1]=3,f[2]=7;
    for (int i=3; i<=n; i++)
        f[i]=2*f[i-1]+f[i-2];
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

公式