LetCode算法题96：不同的二叉搜索树解析

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

这个题的规律是一种叫做Catalan Number卡塔兰数的一个例子（记住就行）。卡塔兰数的递推公式是：
$C_0 = 1, C_{n+1} = \sum_{i=0}^n C_i * C_{n-i}$
也满足：
$C_0 = 1, C_{n+1} = \frac{2(2n+1)}{n+2}*C_n$
所以C++程序用了第一个递推式，python3程序用了第二个递推式，第二个会更快一点。

C++源代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n<1) return 0;
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<n+1;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

python3源代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: 'int') -> 'int':
        if n<1: return 0
        dp = [0 for i in range(n+1)]
        dp[0] = 1
        for i in range(1, n+1):
            dp[i] += 2 * (2 * (i-1) + 1) / ((i-1) + 2) * dp[i-1]
        return int(dp[n])