再看一下用递归将问题分解为规模更小的子问题进行求解的例子。
1、问题描述
把 M 个同样的苹果放在 N 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
输入：
第一行是测试数据的数目 t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数 M 和 N，以空格分开。1<=M，N<=10。
输出：
对输入的每组数据 M 和 N，用一行输出相应的 K。
样例输入：
1
7 3
样例输出：
8
2、问题分析
我们假设将 i 个苹果放在 k 个盘子里放法总数是 f(i,k)。
现在对 i 和 k 的值进行讨论，
- 当 k>i 时，f(i,k)=f(i,i)
公式解析：这个时候盘子多，苹果少，i 个苹果最多只能占用 i 个盘子，剩余的空盘子可以拿走了，因为一定是空的，相当于 i 个苹果，i 个盘子有多少种放法。 - 当 k<=i 时，总放法 = 有盘子为空的放法 + 没盘子为空的放法
f(i,k)=f(i,k-1)+f(i-k,k)
公式解析：有盘子为空，则至少一个盘子为空，将一个空盘子拿走，就变成了 i 个苹果放 k-1 个盘子；没有盘子为空，就是每个盘子至少有一个苹果，先将每个盘子放一个苹果，再将剩下的 i-k 个苹果放 k 个盘子中。
再看一下边界条件，f(i,k-1) 使得 k 减小，所以要设置一个 k 的下限阻止无穷递归下去，f(i-k,k) 使得 i 减小，但是i的值不会小于0，因为 k<=i；所以也要设置 i 的下界，阻止无穷递归。
- 当k=0时，没有盘子，有i个苹果，放法是0；
- 当i=0时，没有苹果了，只有一种放法，空着。
程序如下：
#include<iostream>
using namespace std;
//把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里
int f(int m, int n)
{
if (m == 0) //没有苹果了
return 1;
if (n == 0) //没有盘子了
return 0;
if (m < n)
return f(m,m);
return f(m, n-1) + f(m-n, n);//总放法= 有盘子为空的放法+没盘子为空的放法
}
int main()
{
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << f(m,n)<<endl;
}
return 0;
}
3、总结
1、学习将问题分解为规模更小的子问题
2、学会寻找边界条件