1222：放苹果

题目来源：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1222

1222：放苹果

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【题目描述】

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

【输入】

第一行是测试数据的数目t（0 ≤ t ≤ 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1≤M，N≤10。

【输出】

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

【输入样例】

1
7 3

【输出样例】

8

解析：
数学意义上讲，这道题属于整数划分。
引自百度：
指把一个正整数n写成多个大于等于1且小于等于其本身的整数的和，则其中各加数所构成的集合为n的一个划分。这是一个典型的递归算法。

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为

 

 

其中，   为正整数，并且

   

；

   

为n的一个划分。如果 

 

中的最大值不超过m，即

   

，则称它属于n的一个m划分。

解法:

这里我们记n的m划分的个数为  。例如，当n=4时，有5个划分，即

 

，

  

，

  

，

  

，

  

。

注意：  和

   

被认为是同一个划分。

根据n和m的关系，考虑一下几种情况：

（一）当  时，无论m的值为多少

   

，只有一种划分，即

   

。

（二）当  时，无论n的值为多少，只有一种划分，即n个1，

   

。

（三）当  时，根据划分中是否包含n，可以分为以下两种情况：

（1）划分中包含n的情况，只有一个，即 。

（2）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有  划分。因此 。

（四）当  时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于

   

。

（五）当  时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为以下两种情况：

（1）划分中包含m的情况，即  ，其中

   

的和为n-m，因此这种情况下为

 

。

（2）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的  划分，个数为

 

。因此

   

。

 

emmmmm....

 

这就是递归式。

 

参考代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 int n,k;
 7 int dfs(int a,int p)
 8 {
 9                       //这里很巧妙，找到了当苹果为0时作递归边界 
10     if(a==0) return 1;//若没有苹果时，只有一种分法 
11     if(p==1) return 1;//只有一个盘子，也是仅一种分法 
12     if(a<p) return dfs(a,a);//尽可能压缩计算量，盘子数多于苹果数并无意义 
13     return dfs(a,p-1)+dfs(a-p,p);
14 }
15 int main()
16 {
17     int t;
18     cin>>t;
19     for(int i=0;i<t;i++)
20     {
21         cin>>n>>k;
22         cout<<dfs(n,k)<<endl;
23     }
24     return 0;
25 }

2019-03-28 19:19:17