LC.343. 整数拆分(DP&数学)

LC.343. 整数拆分(DP&数学)

思路：

一. $dp$。令 $dp[i]$表示 $i$能分成若干个正整数的最大乘积。

对于第1个数我们可以分成 $j\in[1,i)$。

显然若第二个数还可以分答案为： $j\times dp[i-j]$，否则为： $j\times(i-j)$。

所以状态转移为： $dp[i]=max(dp[i],j\times dp[i-j],j\times (i-j))$

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int mx=0;
            for(int j=1;j<i;j++)
                mx=max(mx,max(i-j,dp[i-j])*j);
            dp[i]=mx;
        }
        return dp[n];
    }
};

二.数学做法.

最后答案可能的情况。

1.答案不可能含有 $x>4$的数，因为当 $x>4$时， $x$显然可以分成两个乘积比和大的数，比如 $2(x-2)>x$，对于 $x=4$，也可以用 $2\times 2$代替，即答案不含有 $x>3$的数。

2.当 $n>4$时，答案不含1，因为这个 $1$显然可以加到其他数上使答案更大。

3. $n>4$时， $2$的个数小于 $3$个，因为 $3$个2可以换成 $2$个3。

4. $n\le4$时，显然答案为 $n-1$。

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因此我们只需特判 $2$的个数是多少个，剩下的都是3即可。

当 $n\% 3==0$ 显然全为3.

当 $n\%3==2$，显然只有一个2.

当 $n\%3==1$,显然要拿出一个 $3$，凑成两个2.

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n<4) return n-1;
        int x=n/3,y=n%3;
        if(!y) return pow(3,x);
        else if(y==2) return pow(3,x)*2;
        else return pow(3,x-1)*4;
    }
};

三.由数学做法，我们显然可以优化 $dp$过程，特判 $n<4$，将 $j$改为 $2,3$即可。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n<4) return n-1;
        vector<int>dp(n+1,0);dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++)
                dp[i]=max({2*(i-2),2*dp[i-2],3*(i-3),3*dp[i-3]});
        return dp[n];
    }
};