LeetCode 343、整数拆分

LeetCode 343、整数拆分

题目

题解

解法1

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]：拆分 i ，可以得到的最大乘积为dp[i]

2. 确定递推公式

   可以从1开始遍历j，有两种渠道获得dp[i]：一种直接j * (i - j) ；另一种是 j * dp[i - j]，相当于拆分了dp[i - j]（j在从1开始的过程中其实已经拆分了）。

   可以得到递推公式：dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));

3. dp的初始值

   在这里没必要讨论dp[0]、dp[1]的初始值，这是没有意义的，我们肯定的是dp[2] = 1，这就够了，足以解决这道题目

4. 确定遍历顺序

   i 从 3 开始，j 从 1 开始，这样dp[i - j] 最小下标正好是 2

   for (int i = 3; i <= n ; i++) {
          
          
       for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
          
          
           dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
       }
   }
   

5. 举例推导dp数组

class Solution {
    
    
public:
    int integerBreak(int n) {
    
    
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    
      // i从3开始，正好i - j的最小下标为2
            for (int j = 1; j < i - 1; ++j) {
    
       // dp[i - j] 中 i - j > 1 ==> j < i - 1;
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));    // 在i为某一值时，可能在某个j时就已经取得了最大的dp[i]，但j还会不断递增，因此要包含dp[i]
            } 
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

解法2

本题也可以使用贪心算法来解决，每次拆分为 n 个3，如果剩下的是4，保留4，然后相乘。（需要数学证明）

class Solution {
    
    
public:
    int integerBreak(int n) {
    
    
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
    
    
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};