斐波那契数列
题目1：斐波那契数列
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。 n<=39
斐波那契数列定义：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
我们最容易想到的是递归的方式，代码如下：
public int Fibonacci(int n) {
if(n<=0){
return 0;
}
if(n==1){
return 1;
}
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
但这并不是最优解，有很严重的效率问题。
改进：
从下往上计算，首先根据f(0),f(1)算出f(2),再根据f(1)f(2)算出f(3)…以此类推算出第n项。实现代码如下：
public int Fibonacci(int n) {
int one=1;
int two=1;
int fibN=0;
if(n<=0){
return 0;
}else if(n==1||n==2){
return 1;
}else{
for(int i=3;i<=n;i++){
fibN=one+two;
two=one;
one=fibN;
}
return fibN;
}
}
题目2：跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
a.如果两种跳法，1阶或者2阶，那么假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1);
b.假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)
c.由a\b假设可以得出总跳法为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
d.然后通过实际的情况可以得出：只有一阶的时候 f(1) = 1 ,只有两阶的时候可以有 f(2) = 2
e.可以发现最终得出的是一个斐波那契数列
代码同上。
题目3：变态跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)
进行简化：
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2*f(n-1)
总的跳法为：
1 , (n=0 )
f(n) = 1 , (n=1 )
2*f(n-1), (n>=2)
代码如下：
public int JumpFloorII(int target) {
if(target<2){
return 1;
}else{
return 2*JumpFloorII(target-1);
}
}
题目4：矩形覆盖
我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
先把28的覆盖方法记为f(8).
用第一个小矩形去覆盖最左边时有两种选择：
竖着放：右边还剩27区域，覆盖方法记为f(7)。
横着放：右边还剩2*6区域，覆盖方法记为f(6)。
因此f(8)=f(7)+f(6) 仍是斐波那契数列。
代码如下：
public int RectCover(int target) {
if(target<=2){
return target;
}else{
return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
}
}