CCF201312-3 最大的矩形（100分）

试题编号	201312-3
试题名称	最大的矩形
时间限制	1.0s
内存限制	256.0MB
问题描述	问题描述： 　　在横轴上放了n个相邻的矩形，每个矩形的宽度是1，而第i（1 ≤ i ≤ n）个矩形的高度是hi。这n个矩形构成了一个直方图。例如，下图（图见后文）中六个矩形的高度就分别是3, 1, 6, 5, 2, 3。请找出能放在给定直方图里面积最大的矩形，它的边要与坐标轴平行。对于上面给出的例子，最大矩形如下图所示的阴影部分，面积是10。 输入格式 　　第一行包含一个整数n，即矩形的数量(1 ≤ n ≤ 1000)。 　　第二行包含n 个整数h1, h2, … , hn，相邻的数之间由空格分隔。(1 ≤ hi ≤ 10000)。hi是第i个矩形的高度。 输出格式 　　输出一行，包含一个整数，即给定直方图内的最大矩形的面积。 样例输入 6 3 1 6 5 2 3 样例输出 10

输入：

结果：

第一种方法使用暴力搜素法（O(n^2)）（100分）：
因为每个矩形都是始于一个小矩形i，终于另一个小矩形j（j>=i），所以只要从这些矩形中找出面积最大的即可。

public class Main {
  public static void main(String[] args) {

    Scanner scan = new Scanner(System.in);
    int[] h = new int[1000];
    int num = scan.nextInt();

    // 读取数据
    for (int i = 0; i < num; i++) {
      h[i] = scan.nextInt();
    }
    int MaxArea = 0;
    for (int i = 0; i < num; i++) {
      int height = h[i];
      for (int j = i; j < num; j++) {
        if (height > h[j]) // 以高度最低的矩形为合成矩形的高度
          height = h[j];
        
        int area = height * (j - i + 1); //计算以j为终止，以i为起始的最大矩形面积
        if(area>MaxArea)
          MaxArea = area;
      }
    }
    System.out.println(MaxArea);
  }
}

第二种方法比较巧妙，因为每个合成矩形肯定是以某个小矩形的高为自身的高。因此，我们只需求出以每个小矩形为高时的最大矩形面积，然后再选则其中最大的即可。如下图，分别以每个小矩形为高时，下面标出来其对应的最大宽度，计算出矩形面积分别为3 6 6 10 8 3，所以最终结果为10
在这里使用栈来保存矩形高度递增的一个序列，栈中保存矩形下标（0,1,2,3,4…）。只需扫描一遍就可以求出最大矩形。当确定合成矩形宽度时，计算合成矩形面积，并更新最大面积，每次计算以栈顶矩形的高为矩形的高的面积。

• 当遇到 h[i] > h[栈顶] 时，说明以h[栈顶]为高的合成矩形的宽度还可以向右扩展，故将 i 入栈.
• 当遇到 h[i] < h[栈顶] 时，说明以h[栈顶]为高的合成矩形的宽度已经确定了，故计算以 h[栈顶] 为高的合成矩形的面积。其宽度应为 i - 栈顶 - 1（因为栈中矩形高度递增，所以合成矩形的“左端点”应该是栈顶下一个元素），计算完成后，更新最大矩形面积。

import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;

public class Main {
  public static void main(String[] args) {

    Scanner scan = new Scanner(System.in);

    int[] h = new int[1001];
    int num = scan.nextInt();
    
    //读取数据
    for (int i = 0; i < num; i++) {
      h[i] = scan.nextInt();
    }
    h[num] = 0;//将最后一个数置为0，因为0<任何矩形的高，所以当i = num时，会计算出栈中所有矩形的合成矩形的面积
    int MaxArea = 0;
    Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();
    for (int i = 0; i <= num; i++) {
      if (stack.empty() || h[stack.peek()] < h[i]) {
        stack.push(i);
      } else {
        int temp = stack.pop(); // 弹出当前栈顶，并计算以该小矩形为高时的最大矩形面积
        int area = h[temp]*(stack.empty() ? i : i - stack.peek() - 1); //计算面积，高度*宽度
        if(area > MaxArea) {
          MaxArea = area;
        }
        i--; //重新判断该小矩形是否可以入栈
      }
    }
    System.out.println(MaxArea);
  }
}